Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 47927 / 51257
↖ ↑ ↗
← S 70.716285°
E 83.270874°		 ← 201.73 m → S 70.716285°
E 83.276367°		 →
↑
201.77 m
↓
↑
201.77 m
↓
S 70.718099°
E 83.270874°		 ← 201.71 m →
40 701 m²		 S 70.718099°
E 83.276367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.731315612792969 y=0.782127380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.731315612792969 × 216)
    floor (0.731315612792969 × 65536)
    floor (47927.5)     		tx = 47927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782127380371094 × 216)
    floor (0.782127380371094 × 65536)
    floor (51257.5)     		ty = 51257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 47927 / 51257 ti = "16/47927/51257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/47927/51257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47927 ÷ 216
    47927 ÷ 65536     		x = 0.731307983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51257 ÷ 216
    51257 ÷ 65536     		y = 0.782119750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.731307983398438 × 2 - 1) × π
    0.462615966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.45335092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782119750976562 × 2 - 1) × π
    -0.564239501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77261067415044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45335092} λ = 1.45335092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77261067415044))-π/2
    2×atan(0.169888884852135)-π/2
    2×0.16828216104739-π/2
    0.336564322094781-1.57079632675     		φ = -1.23423200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45335092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.270874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23423200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.716285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47927 KachelY 51257 1.45335092 -1.23423200 83.270874 -70.716285
    Oben rechts KachelX + 1 47928 KachelY 51257 1.45344680 -1.23423200 83.276367 -70.716285
    Unten links KachelX 47927 KachelY + 1 51258 1.45335092 -1.23426367 83.270874 -70.718099
    Unten rechts KachelX + 1 47928 KachelY + 1 51258 1.45344680 -1.23426367 83.276367 -70.718099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23423200--1.23426367) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dl = 201.76957000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23423200--1.23426367) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dr = 201.76957000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45335092-1.45344680) × cos(-1.23423200) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.330246133355642 × 6371000     		do = 201.731339324439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45335092-1.45344680) × cos(-1.23426367) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.330216240040072 × 6371000     		du = 201.713078948381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23423200)-sin(-1.23426367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330246133355642-0.330216240040072)×R²
    abs(1.45344680-1.45335092)×2.98933155706838e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.98933155706838e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.98933155706838e-05×40589641000000     		ar = 40701.403400199m²