Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 47923 / 51141
↖ ↑ ↗
← S 70.504742°
E 83.248902°		 ← 203.84 m → S 70.504742°
E 83.254394°		 →
↑
203.87 m
↓
↑
203.87 m
↓
S 70.506575°
E 83.248902°		 ← 203.82 m →
41 555 m²		 S 70.506575°
E 83.254394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.731254577636719 y=0.780357360839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.731254577636719 × 216)
    floor (0.731254577636719 × 65536)
    floor (47923.5)     		tx = 47923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780357360839844 × 216)
    floor (0.780357360839844 × 65536)
    floor (51141.5)     		ty = 51141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 47923 / 51141 ti = "16/47923/51141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/47923/51141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47923 ÷ 216
    47923 ÷ 65536     		x = 0.731246948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51141 ÷ 216
    51141 ÷ 65536     		y = 0.780349731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.731246948242188 × 2 - 1) × π
    0.462493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.45296743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780349731445312 × 2 - 1) × π
    -0.560699462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76148931343858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45296743} λ = 1.45296743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76148931343858))-π/2
    2×atan(0.171788825803077)-π/2
    2×0.170128222513898-π/2
    0.340256445027796-1.57079632675     		φ = -1.23053988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45296743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.248902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23053988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.504742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47923 KachelY 51141 1.45296743 -1.23053988 83.248902 -70.504742
    Oben rechts KachelX + 1 47924 KachelY 51141 1.45306330 -1.23053988 83.254394 -70.504742
    Unten links KachelX 47923 KachelY + 1 51142 1.45296743 -1.23057188 83.248902 -70.506575
    Unten rechts KachelX + 1 47924 KachelY + 1 51142 1.45306330 -1.23057188 83.254394 -70.506575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23053988--1.23057188) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dl = 203.872000000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23053988--1.23057188) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dr = 203.872000000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45296743-1.45306330) × cos(-1.23053988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333728847584631 × 6371000     		do = 203.837498600882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45296743-1.45306330) × cos(-1.23057188) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333698682002156 × 6371000     		du = 203.819073832031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23053988)-sin(-1.23057188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333728847584631-0.333698682002156)×R²
    abs(1.45306330-1.45296743)×3.0165582474706e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0165582474706e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0165582474706e-05×40589641000000     		ar = 41554.8803708033m²