Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4792 / 3720
↖ ↑ ↗
← N 16.299051°
E 30.585937°		 ← 4 690.10 m → N 16.299051°
E 30.629883°		 →
↑
4 690.65 m
↓
↑
4 690.65 m
↓
N 16.256867°
E 30.585937°		 ← 4 691.11 m →
22 002 000 m²		 N 16.256867°
E 30.629883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58502197265625 y=0.45416259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58502197265625 × 213)
    floor (0.58502197265625 × 8192)
    floor (4792.5)     		tx = 4792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45416259765625 × 213)
    floor (0.45416259765625 × 8192)
    floor (3720.5)     		ty = 3720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4792 / 3720 ti = "13/4792/3720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4792/3720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4792 ÷ 213
    4792 ÷ 8192     		x = 0.5849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3720 ÷ 213
    3720 ÷ 8192     		y = 0.4541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5849609375 × 2 - 1) × π
    0.169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.53382531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4541015625 × 2 - 1) × π
    0.091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.288388388114258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53382531} λ = 0.53382531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.288388388114258))-π/2
    2×atan(1.33427542021616)-π/2
    2×0.92763421597098-π/2
    1.85526843194196-1.57079632675     		φ = 0.28447211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53382531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.585937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28447211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.299051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4792 KachelY 3720 0.53382531 0.28447211 30.585937 16.299051
    Oben rechts KachelX + 1 4793 KachelY 3720 0.53459230 0.28447211 30.629883 16.299051
    Unten links KachelX 4792 KachelY + 1 3721 0.53382531 0.28373586 30.585937 16.256867
    Unten rechts KachelX + 1 4793 KachelY + 1 3721 0.53459230 0.28373586 30.629883 16.256867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28447211-0.28373586) × R
    0.000736249999999994 × 6371000     		dl = 4690.64874999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28447211-0.28373586) × R
    0.000736249999999994 × 6371000     		dr = 4690.64874999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53382531-0.53459230) × cos(0.28447211) × R
    0.000766990000000023 × 0.959809939144049 × 6371000     		do = 4690.10482730285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53382531-0.53459230) × cos(0.28373586) × R
    0.000766990000000023 × 0.960016308149697 × 6371000     		du = 4691.11324806421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28447211)-sin(0.28373586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959809939144049-0.960016308149697)×R²
    abs(0.53459230-0.53382531)×0.000206369005647411×R²
    0.000766990000000023×0.000206369005647411×6371000²
    0.000766990000000023×0.000206369005647411×40589641000000     		ar = 22002000.4132229m²