Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47913 / 54823
↖ ↑ ↗
← N 28.210029°
W 48.403015°		 ← 269.09 m → N 28.210029°
W 48.400269°		 →
↑
269.17 m
↓
↑
269.17 m
↓
N 28.207608°
W 48.403015°		 ← 269.10 m →
72 433 m²		 N 28.207608°
W 48.400269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365550994873047 y=0.418270111083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365550994873047 × 217)
    floor (0.365550994873047 × 131072)
    floor (47913.5)     		tx = 47913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418270111083984 × 217)
    floor (0.418270111083984 × 131072)
    floor (54823.5)     		ty = 54823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47913 / 54823 ti = "17/47913/54823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47913/54823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47913 ÷ 217
    47913 ÷ 131072     		x = 0.365547180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54823 ÷ 217
    54823 ÷ 131072     		y = 0.418266296386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365547180175781 × 2 - 1) × π
    -0.268905639648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.84479198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418266296386719 × 2 - 1) × π
    0.163467407226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.513548005629662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84479198} λ = -0.84479198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513548005629662))-π/2
    2×atan(1.67121015151704)-π/2
    2×1.03157710717614-π/2
    2.06315421435227-1.57079632675     		φ = 0.49235789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84479198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.403015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49235789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.210029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47913 KachelY 54823 -0.84479198 0.49235789 -48.403015 28.210029
    Oben rechts KachelX + 1 47914 KachelY 54823 -0.84474405 0.49235789 -48.400269 28.210029
    Unten links KachelX 47913 KachelY + 1 54824 -0.84479198 0.49231564 -48.403015 28.207608
    Unten rechts KachelX + 1 47914 KachelY + 1 54824 -0.84474405 0.49231564 -48.400269 28.207608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49235789-0.49231564) × R
    4.22500000000214e-05 × 6371000     		dl = 269.174750000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49235789-0.49231564) × R
    4.22500000000214e-05 × 6371000     		dr = 269.174750000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84479198--0.84474405) × cos(0.49235789) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.881220722835195 × 6371000     		do = 269.091348803187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84479198--0.84474405) × cos(0.49231564) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.881240693835844 × 6371000     		du = 269.097447188486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49235789)-sin(0.49231564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881220722835195-0.881240693835844)×R²
    abs(-0.84474405--0.84479198)×1.99710006485443e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99710006485443e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99710006485443e-05×40589641000000     		ar = 72433.4173177131m²