Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47904 / 55469
↖ ↑ ↗
← N 26.635184°
W 48.427734°		 ← 272.96 m → N 26.635184°
W 48.424988°		 →
↑
273 m
↓
↑
273 m
↓
N 26.632728°
W 48.427734°		 ← 272.96 m →
74 517 m²		 N 26.632728°
W 48.424988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365482330322266 y=0.423198699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365482330322266 × 217)
    floor (0.365482330322266 × 131072)
    floor (47904.5)     		tx = 47904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423198699951172 × 217)
    floor (0.423198699951172 × 131072)
    floor (55469.5)     		ty = 55469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47904 / 55469 ti = "17/47904/55469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47904/55469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47904 ÷ 217
    47904 ÷ 131072     		x = 0.365478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55469 ÷ 217
    55469 ÷ 131072     		y = 0.423194885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365478515625 × 2 - 1) × π
    -0.26904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84522341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423194885253906 × 2 - 1) × π
    0.153610229492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.482580768475105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84522341} λ = -0.84522341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.482580768475105))-π/2
    2×atan(1.62025050251967)-π/2
    2×1.01783399048951-π/2
    2.03566798097902-1.57079632675     		φ = 0.46487165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84522341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.427734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46487165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.635184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47904 KachelY 55469 -0.84522341 0.46487165 -48.427734 26.635184
    Oben rechts KachelX + 1 47905 KachelY 55469 -0.84517548 0.46487165 -48.424988 26.635184
    Unten links KachelX 47904 KachelY + 1 55470 -0.84522341 0.46482880 -48.427734 26.632728
    Unten rechts KachelX + 1 47905 KachelY + 1 55470 -0.84517548 0.46482880 -48.424988 26.632728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46487165-0.46482880) × R
    4.28500000000387e-05 × 6371000     		dl = 272.997350000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46487165-0.46482880) × R
    4.28500000000387e-05 × 6371000     		dr = 272.997350000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84522341--0.84517548) × cos(0.46487165) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.893879113310844 × 6371000     		do = 272.956740615366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84522341--0.84517548) × cos(0.46482880) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.893898322491248 × 6371000     		du = 272.962606369689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46487165)-sin(0.46482880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893879113310844-0.893898322491248)×R²
    abs(-0.84517548--0.84522341)×1.92091804044336e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92091804044336e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92091804044336e-05×40589641000000     		ar = 74517.267531766m²