Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47903 / 54561
↖ ↑ ↗
← N 28.842268°
W 48.430481°		 ← 267.54 m → N 28.842268°
W 48.427734°		 →
↑
267.52 m
↓
↑
267.52 m
↓
N 28.839862°
W 48.430481°		 ← 267.54 m →
71 572 m²		 N 28.839862°
W 48.427734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365474700927734 y=0.416271209716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365474700927734 × 217)
    floor (0.365474700927734 × 131072)
    floor (47903.5)     		tx = 47903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416271209716797 × 217)
    floor (0.416271209716797 × 131072)
    floor (54561.5)     		ty = 54561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47903 / 54561 ti = "17/47903/54561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47903/54561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47903 ÷ 217
    47903 ÷ 131072     		x = 0.365470886230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54561 ÷ 217
    54561 ÷ 131072     		y = 0.416267395019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365470886230469 × 2 - 1) × π
    -0.269058227539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.84527135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416267395019531 × 2 - 1) × π
    0.167465209960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.526107473330116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84527135} λ = -0.84527135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526107473330116))-π/2
    2×atan(1.69233202352363)-π/2
    2×1.03709443214136-π/2
    2.07418886428271-1.57079632675     		φ = 0.50339254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84527135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.430481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50339254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.842268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47903 KachelY 54561 -0.84527135 0.50339254 -48.430481 28.842268
    Oben rechts KachelX + 1 47904 KachelY 54561 -0.84522341 0.50339254 -48.427734 28.842268
    Unten links KachelX 47903 KachelY + 1 54562 -0.84527135 0.50335055 -48.430481 28.839862
    Unten rechts KachelX + 1 47904 KachelY + 1 54562 -0.84522341 0.50335055 -48.427734 28.839862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50339254-0.50335055) × R
    4.19900000000473e-05 × 6371000     		dl = 267.518290000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50339254-0.50335055) × R
    4.19900000000473e-05 × 6371000     		dr = 267.518290000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84527135--0.84522341) × cos(0.50339254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875951044505785 × 6371000     		do = 267.537995971777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84527135--0.84522341) × cos(0.50335055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87597129970989 × 6371000     		du = 267.54418243248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50339254)-sin(0.50335055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875951044505785-0.87597129970989)×R²
    abs(-0.84522341--0.84527135)×2.02552041052018e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02552041052018e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02552041052018e-05×40589641000000     		ar = 71572.1346987439m²