Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47892 / 54844
↖ ↑ ↗
← N 28.159189°
W 48.460694°		 ← 269.28 m → N 28.159189°
W 48.457947°		 →
↑
269.24 m
↓
↑
269.24 m
↓
N 28.156768°
W 48.460694°		 ← 269.28 m →
72 500 m²		 N 28.156768°
W 48.457947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365390777587891 y=0.418430328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365390777587891 × 217)
    floor (0.365390777587891 × 131072)
    floor (47892.5)     		tx = 47892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418430328369141 × 217)
    floor (0.418430328369141 × 131072)
    floor (54844.5)     		ty = 54844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47892 / 54844 ti = "17/47892/54844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47892/54844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47892 ÷ 217
    47892 ÷ 131072     		x = 0.365386962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54844 ÷ 217
    54844 ÷ 131072     		y = 0.418426513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.26922607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84579866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418426513671875 × 2 - 1) × π
    0.16314697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.51254133073764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84579866} λ = -0.84579866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.51254133073764))-π/2
    2×atan(1.6695286327316)-π/2
    2×1.03113345029478-π/2
    2.06226690058955-1.57079632675     		φ = 0.49147057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84579866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.460694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49147057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.159189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47892 KachelY 54844 -0.84579866 0.49147057 -48.460694 28.159189
    Oben rechts KachelX + 1 47893 KachelY 54844 -0.84575072 0.49147057 -48.457947 28.159189
    Unten links KachelX 47892 KachelY + 1 54845 -0.84579866 0.49142831 -48.460694 28.156768
    Unten rechts KachelX + 1 47893 KachelY + 1 54845 -0.84575072 0.49142831 -48.457947 28.156768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49147057-0.49142831) × R
    4.22600000000162e-05 × 6371000     		dl = 269.238460000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49147057-0.49142831) × R
    4.22600000000162e-05 × 6371000     		dr = 269.238460000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84579866--0.84575072) × cos(0.49147057) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.881639816491387 × 6371000     		do = 269.275493365793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84579866--0.84575072) × cos(0.49142831) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.881659759166339 × 6371000     		du = 269.281584372048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49147057)-sin(0.49142831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881639816491387-0.881659759166339)×R²
    abs(-0.84575072--0.84579866)×1.99426749515341e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.99426749515341e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.99426749515341e-05×40589641000000     		ar = 72500.139126958m²