Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47889 / 54842
↖ ↑ ↗
← N 28.164033°
W 48.468933°		 ← 269.26 m → N 28.164033°
W 48.466186°		 →
↑
269.24 m
↓
↑
269.24 m
↓
N 28.161611°
W 48.468933°		 ← 269.27 m →
72 497 m²		 N 28.161611°
W 48.466186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365367889404297 y=0.418415069580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365367889404297 × 217)
    floor (0.365367889404297 × 131072)
    floor (47889.5)     		tx = 47889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418415069580078 × 217)
    floor (0.418415069580078 × 131072)
    floor (54842.5)     		ty = 54842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47889 / 54842 ti = "17/47889/54842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47889/54842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47889 ÷ 217
    47889 ÷ 131072     		x = 0.365364074707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54842 ÷ 217
    54842 ÷ 131072     		y = 0.418411254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365364074707031 × 2 - 1) × π
    -0.269271850585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.84594247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418411254882812 × 2 - 1) × π
    0.163177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.512637204536881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84594247} λ = -0.84594247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.512637204536881))-π/2
    2×atan(1.66968870445778)-π/2
    2×1.03117571241794-π/2
    2.06235142483588-1.57079632675     		φ = 0.49155510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84594247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.468933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49155510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.164033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47889 KachelY 54842 -0.84594247 0.49155510 -48.468933 28.164033
    Oben rechts KachelX + 1 47890 KachelY 54842 -0.84589453 0.49155510 -48.466186 28.164033
    Unten links KachelX 47889 KachelY + 1 54843 -0.84594247 0.49151284 -48.468933 28.161611
    Unten rechts KachelX + 1 47890 KachelY + 1 54843 -0.84589453 0.49151284 -48.466186 28.161611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49155510-0.49151284) × R
    4.22600000000162e-05 × 6371000     		dl = 269.238460000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49155510-0.49151284) × R
    4.22600000000162e-05 × 6371000     		dr = 269.238460000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84594247--0.84589453) × cos(0.49155510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881599921697964 × 6371000     		do = 269.263308468366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84594247--0.84589453) × cos(0.49151284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881619867522307 × 6371000     		du = 269.269400436526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49155510)-sin(0.49151284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881599921697964-0.881619867522307)×R²
    abs(-0.84589453--0.84594247)×1.99458243429484e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99458243429484e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99458243429484e-05×40589641000000     		ar = 72496.8586134183m²