Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47886 / 54852
↖ ↑ ↗
← N 28.139816°
W 48.477173°		 ← 269.32 m → N 28.139816°
W 48.474426°		 →
↑
269.30 m
↓
↑
269.30 m
↓
N 28.137394°
W 48.477173°		 ← 269.33 m →
72 530 m²		 N 28.137394°
W 48.474426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365345001220703 y=0.418491363525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365345001220703 × 217)
    floor (0.365345001220703 × 131072)
    floor (47886.5)     		tx = 47886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418491363525391 × 217)
    floor (0.418491363525391 × 131072)
    floor (54852.5)     		ty = 54852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47886 / 54852 ti = "17/47886/54852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47886/54852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47886 ÷ 217
    47886 ÷ 131072     		x = 0.365341186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54852 ÷ 217
    54852 ÷ 131072     		y = 0.418487548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365341186523438 × 2 - 1) × π
    -0.269317626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84608628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418487548828125 × 2 - 1) × π
    0.16302490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.51215783554068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84608628} λ = -0.84608628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.51215783554068))-π/2
    2×atan(1.66888849927165)-π/2
    2×1.03096438268232-π/2
    2.06192876536465-1.57079632675     		φ = 0.49113244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84608628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.477173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49113244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.139816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47886 KachelY 54852 -0.84608628 0.49113244 -48.477173 28.139816
    Oben rechts KachelX + 1 47887 KachelY 54852 -0.84603834 0.49113244 -48.474426 28.139816
    Unten links KachelX 47886 KachelY + 1 54853 -0.84608628 0.49109017 -48.477173 28.137394
    Unten rechts KachelX + 1 47887 KachelY + 1 54853 -0.84603834 0.49109017 -48.474426 28.137394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49113244-0.49109017) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dl = 269.30217000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49113244-0.49109017) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dr = 269.30217000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84608628--0.84603834) × cos(0.49113244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881799337382485 × 6371000     		do = 269.324215151379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84608628--0.84603834) × cos(0.49109017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881819272173949 × 6371000     		du = 269.330303749813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49113244)-sin(0.49109017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881799337382485-0.881819272173949)×R²
    abs(-0.84603834--0.84608628)×1.99347914634496e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99347914634496e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99347914634496e-05×40589641000000     		ar = 72530.415421003m²