Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47884 / 54820
↖ ↑ ↗
← N 28.217290°
W 48.482666°		 ← 269.07 m → N 28.217290°
W 48.479920°		 →
↑
269.11 m
↓
↑
269.11 m
↓
N 28.214869°
W 48.482666°		 ← 269.08 m →
72 411 m²		 N 28.214869°
W 48.479920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365329742431641 y=0.418247222900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365329742431641 × 217)
    floor (0.365329742431641 × 131072)
    floor (47884.5)     		tx = 47884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418247222900391 × 217)
    floor (0.418247222900391 × 131072)
    floor (54820.5)     		ty = 54820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47884 / 54820 ti = "17/47884/54820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47884/54820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47884 ÷ 217
    47884 ÷ 131072     		x = 0.365325927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54820 ÷ 217
    54820 ÷ 131072     		y = 0.418243408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365325927734375 × 2 - 1) × π
    -0.26934814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84618215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418243408203125 × 2 - 1) × π
    0.16351318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.513691816328522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84618215} λ = -0.84618215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513691816328522))-π/2
    2×atan(1.67145050669929)-π/2
    2×1.03164046950634-π/2
    2.06328093901268-1.57079632675     		φ = 0.49248461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84618215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.482666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49248461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.217290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47884 KachelY 54820 -0.84618215 0.49248461 -48.482666 28.217290
    Oben rechts KachelX + 1 47885 KachelY 54820 -0.84613422 0.49248461 -48.479920 28.217290
    Unten links KachelX 47884 KachelY + 1 54821 -0.84618215 0.49244237 -48.482666 28.214869
    Unten rechts KachelX + 1 47885 KachelY + 1 54821 -0.84613422 0.49244237 -48.479920 28.214869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49248461-0.49244237) × R
    4.22399999999712e-05 × 6371000     		dl = 269.111039999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49248461-0.49244237) × R
    4.22399999999712e-05 × 6371000     		dr = 269.111039999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84618215--0.84613422) × cos(0.49248461) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.881160814579689 × 6371000     		do = 269.073055096049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84618215--0.84613422) × cos(0.49244237) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.881180785570421 × 6371000     		du = 269.07915347832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49248461)-sin(0.49244237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881160814579689-0.881180785570421)×R²
    abs(-0.84613422--0.84618215)×1.99709907322543e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.99709907322543e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.99709907322543e-05×40589641000000     		ar = 72411.3502745447m²