Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4788 / 3700
↖ ↑ ↗
← N 17.140790°
E 30.410156°		 ← 4 669.45 m → N 17.140790°
E 30.454101°		 →
↑
4 670.01 m
↓
↑
4 670.01 m
↓
N 17.098792°
E 30.410156°		 ← 4 670.51 m →
21 808 835 m²		 N 17.098792°
E 30.454101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58453369140625 y=0.45172119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58453369140625 × 213)
    floor (0.58453369140625 × 8192)
    floor (4788.5)     		tx = 4788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45172119140625 × 213)
    floor (0.45172119140625 × 8192)
    floor (3700.5)     		ty = 3700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4788 / 3700 ti = "13/4788/3700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4788/3700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4788 ÷ 213
    4788 ÷ 8192     		x = 0.58447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3700 ÷ 213
    3700 ÷ 8192     		y = 0.45166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58447265625 × 2 - 1) × π
    0.1689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.53075735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45166015625 × 2 - 1) × π
    0.0966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.303728195992676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53075735} λ = 0.53075735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.303728195992676))-π/2
    2×atan(1.35490073858658)-π/2
    2×0.934979777772095-π/2
    1.86995955554419-1.57079632675     		φ = 0.29916323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53075735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.410156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29916323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.140790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4788 KachelY 3700 0.53075735 0.29916323 30.410156 17.140790
    Oben rechts KachelX + 1 4789 KachelY 3700 0.53152434 0.29916323 30.454101 17.140790
    Unten links KachelX 4788 KachelY + 1 3701 0.53075735 0.29843022 30.410156 17.098792
    Unten rechts KachelX + 1 4789 KachelY + 1 3701 0.53152434 0.29843022 30.454101 17.098792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29916323-0.29843022) × R
    0.000733009999999978 × 6371000     		dl = 4670.00670999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29916323-0.29843022) × R
    0.000733009999999978 × 6371000     		dr = 4670.00670999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53075735-0.53152434) × cos(0.29916323) × R
    0.000766990000000023 × 0.955583437084419 × 6371000     		do = 4669.45205334829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53075735-0.53152434) × cos(0.29843022) × R
    0.000766990000000023 × 0.95579921357083 × 6371000     		du = 4670.50644370128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29916323)-sin(0.29843022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955583437084419-0.95579921357083)×R²
    abs(0.53152434-0.53075735)×0.000215776486411023×R²
    0.000766990000000023×0.000215776486411023×6371000²
    0.000766990000000023×0.000215776486411023×40589641000000     		ar = 21808835.4026686m²