Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47869 / 54829
↖ ↑ ↗
← N 28.195506°
W 48.523865°		 ← 269.18 m → N 28.195506°
W 48.521118°		 →
↑
269.17 m
↓
↑
269.17 m
↓
N 28.193085°
W 48.523865°		 ← 269.19 m →
72 458 m²		 N 28.193085°
W 48.521118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365215301513672 y=0.418315887451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365215301513672 × 217)
    floor (0.365215301513672 × 131072)
    floor (47869.5)     		tx = 47869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418315887451172 × 217)
    floor (0.418315887451172 × 131072)
    floor (54829.5)     		ty = 54829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47869 / 54829 ti = "17/47869/54829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47869/54829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47869 ÷ 217
    47869 ÷ 131072     		x = 0.365211486816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54829 ÷ 217
    54829 ÷ 131072     		y = 0.418312072753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365211486816406 × 2 - 1) × π
    -0.269577026367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.84690121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418312072753906 × 2 - 1) × π
    0.163375854492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.513260384231941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84690121} λ = -0.84690121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513260384231941))-π/2
    2×atan(1.67072954483708)-π/2
    2×1.0314503695939-π/2
    2.06290073918779-1.57079632675     		φ = 0.49210441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84690121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.523865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49210441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.195506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47869 KachelY 54829 -0.84690121 0.49210441 -48.523865 28.195506
    Oben rechts KachelX + 1 47870 KachelY 54829 -0.84685327 0.49210441 -48.521118 28.195506
    Unten links KachelX 47869 KachelY + 1 54830 -0.84690121 0.49206216 -48.523865 28.193085
    Unten rechts KachelX + 1 47870 KachelY + 1 54830 -0.84685327 0.49206216 -48.521118 28.193085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49210441-0.49206216) × R
    4.22499999999659e-05 × 6371000     		dl = 269.174749999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49210441-0.49206216) × R
    4.22499999999659e-05 × 6371000     		dr = 269.174749999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84690121--0.84685327) × cos(0.49210441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881340515792695 × 6371000     		do = 269.184079227789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84690121--0.84685327) × cos(0.49206216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881360477355136 × 6371000     		du = 269.190176002769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49210441)-sin(0.49206216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881340515792695-0.881360477355136)×R²
    abs(-0.84685327--0.84690121)×1.99615624403293e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99615624403293e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99615624403293e-05×40589641000000     		ar = 72458.3777898548m²