Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47868 / 55036
↖ ↑ ↗
← N 27.693256°
W 48.526611°		 ← 270.38 m → N 27.693256°
W 48.523865°		 →
↑
270.39 m
↓
↑
270.39 m
↓
N 27.690824°
W 48.526611°		 ← 270.39 m →
73 108 m²		 N 27.690824°
W 48.523865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365207672119141 y=0.419895172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365207672119141 × 217)
    floor (0.365207672119141 × 131072)
    floor (47868.5)     		tx = 47868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419895172119141 × 217)
    floor (0.419895172119141 × 131072)
    floor (55036.5)     		ty = 55036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47868 / 55036 ti = "17/47868/55036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47868/55036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47868 ÷ 217
    47868 ÷ 131072     		x = 0.365203857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55036 ÷ 217
    55036 ÷ 131072     		y = 0.419891357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365203857421875 × 2 - 1) × π
    -0.26959228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84694914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419891357421875 × 2 - 1) × π
    0.16021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.50333744601059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84694914} λ = -0.84694914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50333744601059))-π/2
    2×atan(1.65423298132989)-π/2
    2×1.02706741528396-π/2
    2.05413483056791-1.57079632675     		φ = 0.48333850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84694914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.526611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48333850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.693256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47868 KachelY 55036 -0.84694914 0.48333850 -48.526611 27.693256
    Oben rechts KachelX + 1 47869 KachelY 55036 -0.84690121 0.48333850 -48.523865 27.693256
    Unten links KachelX 47868 KachelY + 1 55037 -0.84694914 0.48329606 -48.526611 27.690824
    Unten rechts KachelX + 1 47869 KachelY + 1 55037 -0.84690121 0.48329606 -48.523865 27.690824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48333850-0.48329606) × R
    4.24399999999769e-05 × 6371000     		dl = 270.385239999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48333850-0.48329606) × R
    4.24399999999769e-05 × 6371000     		dr = 270.385239999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84694914--0.84690121) × cos(0.48333850) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.885448332832659 × 6371000     		do = 270.382300374062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84694914--0.84690121) × cos(0.48329606) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.88546805550871 × 6371000     		du = 270.388322930458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48333850)-sin(0.48329606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885448332832659-0.88546805550871)×R²
    abs(-0.84690121--0.84694914)×1.97226760508817e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97226760508817e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97226760508817e-05×40589641000000     		ar = 73108.197394492m²