Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47867 / 54783
↖ ↑ ↗
← N 28.306799°
W 48.529358°		 ← 268.90 m → N 28.306799°
W 48.526611°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
N 28.304381°
W 48.529358°		 ← 268.91 m →
72 297 m²		 N 28.304381°
W 48.526611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365200042724609 y=0.417964935302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365200042724609 × 217)
    floor (0.365200042724609 × 131072)
    floor (47867.5)     		tx = 47867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417964935302734 × 217)
    floor (0.417964935302734 × 131072)
    floor (54783.5)     		ty = 54783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47867 / 54783 ti = "17/47867/54783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47867/54783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47867 ÷ 217
    47867 ÷ 131072     		x = 0.365196228027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54783 ÷ 217
    54783 ÷ 131072     		y = 0.417961120605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365196228027344 × 2 - 1) × π
    -0.269607543945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.84699708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417961120605469 × 2 - 1) × π
    0.164077758789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.515465481614464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84699708} λ = -0.84699708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515465481614464))-π/2
    2×atan(1.67441773109376)-π/2
    2×1.03242158378732-π/2
    2.06484316757464-1.57079632675     		φ = 0.49404684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84699708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.529358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49404684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.306799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47867 KachelY 54783 -0.84699708 0.49404684 -48.529358 28.306799
    Oben rechts KachelX + 1 47868 KachelY 54783 -0.84694914 0.49404684 -48.526611 28.306799
    Unten links KachelX 47867 KachelY + 1 54784 -0.84699708 0.49400464 -48.529358 28.304381
    Unten rechts KachelX + 1 47868 KachelY + 1 54784 -0.84694914 0.49400464 -48.526611 28.304381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49404684-0.49400464) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dl = 268.856199999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49404684-0.49400464) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dr = 268.856199999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84699708--0.84694914) × cos(0.49404684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88042109120446 × 6371000     		do = 268.903263292553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84699708--0.84694914) × cos(0.49400464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880441101351802 × 6371000     		du = 268.909374906613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49404684)-sin(0.49400464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88042109120446-0.880441101351802)×R²
    abs(-0.84694914--0.84699708)×2.00101473412095e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00101473412095e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00101473412095e-05×40589641000000     		ar = 72297.1311197452m²