Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47866 / 54795
↖ ↑ ↗
← N 28.277777°
W 48.532105°		 ← 268.98 m → N 28.277777°
W 48.529358°		 →
↑
268.98 m
↓
↑
268.98 m
↓
N 28.275358°
W 48.532105°		 ← 268.98 m →
72 351 m²		 N 28.275358°
W 48.529358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365192413330078 y=0.418056488037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365192413330078 × 217)
    floor (0.365192413330078 × 131072)
    floor (47866.5)     		tx = 47866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418056488037109 × 217)
    floor (0.418056488037109 × 131072)
    floor (54795.5)     		ty = 54795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47866 / 54795 ti = "17/47866/54795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47866/54795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47866 ÷ 217
    47866 ÷ 131072     		x = 0.365188598632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54795 ÷ 217
    54795 ÷ 131072     		y = 0.418052673339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365188598632812 × 2 - 1) × π
    -0.269622802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.84704502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418052673339844 × 2 - 1) × π
    0.163894653320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.514890238819023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84704502} λ = -0.84704502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514890238819023))-π/2
    2×atan(1.67345481134027)-π/2
    2×1.03216832131304-π/2
    2.06433664262607-1.57079632675     		φ = 0.49354032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84704502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.532105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49354032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.277777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47866 KachelY 54795 -0.84704502 0.49354032 -48.532105 28.277777
    Oben rechts KachelX + 1 47867 KachelY 54795 -0.84699708 0.49354032 -48.529358 28.277777
    Unten links KachelX 47866 KachelY + 1 54796 -0.84704502 0.49349810 -48.532105 28.275358
    Unten rechts KachelX + 1 47867 KachelY + 1 54796 -0.84699708 0.49349810 -48.529358 28.275358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49354032-0.49349810) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dl = 268.983619999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49354032-0.49349810) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dr = 268.983619999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84704502--0.84699708) × cos(0.49354032) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.880661166331291 × 6371000     		do = 268.976588416444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84704502--0.84699708) × cos(0.49349810) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.880681167130915 × 6371000     		du = 268.98269717547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49354032)-sin(0.49349810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880661166331291-0.880681167130915)×R²
    abs(-0.84699708--0.84704502)×2.00007996234985e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.00007996234985e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.00007996234985e-05×40589641000000     		ar = 72351.1180363093m²