Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47865 / 54794
↖ ↑ ↗
← N 28.280196°
W 48.534851°		 ← 268.91 m → N 28.280196°
W 48.532105°		 →
↑
268.92 m
↓
↑
268.92 m
↓
N 28.277777°
W 48.534851°		 ← 268.92 m →
72 317 m²		 N 28.277777°
W 48.532105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365184783935547 y=0.418048858642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365184783935547 × 217)
    floor (0.365184783935547 × 131072)
    floor (47865.5)     		tx = 47865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418048858642578 × 217)
    floor (0.418048858642578 × 131072)
    floor (54794.5)     		ty = 54794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47865 / 54794 ti = "17/47865/54794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47865/54794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47865 ÷ 217
    47865 ÷ 131072     		x = 0.365180969238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54794 ÷ 217
    54794 ÷ 131072     		y = 0.418045043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365180969238281 × 2 - 1) × π
    -0.269638061523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.84709295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418045043945312 × 2 - 1) × π
    0.163909912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.514938175718643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84709295} λ = -0.84709295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514938175718643))-π/2
    2×atan(1.67353503349836)-π/2
    2×1.03218942915636-π/2
    2.06437885831272-1.57079632675     		φ = 0.49358253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84709295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.534851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49358253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.280196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47865 KachelY 54794 -0.84709295 0.49358253 -48.534851 28.280196
    Oben rechts KachelX + 1 47866 KachelY 54794 -0.84704502 0.49358253 -48.532105 28.280196
    Unten links KachelX 47865 KachelY + 1 54795 -0.84709295 0.49354032 -48.534851 28.277777
    Unten rechts KachelX + 1 47866 KachelY + 1 54795 -0.84704502 0.49354032 -48.532105 28.277777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49358253-0.49354032) × R
    4.22100000000425e-05 × 6371000     		dl = 268.919910000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49358253-0.49354032) × R
    4.22100000000425e-05 × 6371000     		dr = 268.919910000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84709295--0.84704502) × cos(0.49358253) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.880641168699703 × 6371000     		do = 268.914374975255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84709295--0.84704502) × cos(0.49354032) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.880661166331291 × 6371000     		du = 268.920481492633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49358253)-sin(0.49354032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880641168699703-0.880661166331291)×R²
    abs(-0.84704502--0.84709295)×1.99976315886641e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.99976315886641e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.99976315886641e-05×40589641000000     		ar = 72317.2506088808m²