Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47865 / 54791
↖ ↑ ↗
← N 28.287452°
W 48.534851°		 ← 268.90 m → N 28.287452°
W 48.532105°		 →
↑
268.92 m
↓
↑
268.92 m
↓
N 28.285033°
W 48.534851°		 ← 268.90 m →
72 312 m²		 N 28.285033°
W 48.532105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365184783935547 y=0.418025970458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365184783935547 × 217)
    floor (0.365184783935547 × 131072)
    floor (47865.5)     		tx = 47865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418025970458984 × 217)
    floor (0.418025970458984 × 131072)
    floor (54791.5)     		ty = 54791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47865 / 54791 ti = "17/47865/54791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47865/54791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47865 ÷ 217
    47865 ÷ 131072     		x = 0.365180969238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54791 ÷ 217
    54791 ÷ 131072     		y = 0.418022155761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365180969238281 × 2 - 1) × π
    -0.269638061523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.84709295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418022155761719 × 2 - 1) × π
    0.163955688476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.515081986417503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84709295} λ = -0.84709295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515081986417503))-π/2
    2×atan(1.67377572304755)-π/2
    2×1.03225274980989-π/2
    2.06450549961978-1.57079632675     		φ = 0.49370917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84709295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.534851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49370917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.287452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47865 KachelY 54791 -0.84709295 0.49370917 -48.534851 28.287452
    Oben rechts KachelX + 1 47866 KachelY 54791 -0.84704502 0.49370917 -48.532105 28.287452
    Unten links KachelX 47865 KachelY + 1 54792 -0.84709295 0.49366696 -48.534851 28.285033
    Unten rechts KachelX + 1 47866 KachelY + 1 54792 -0.84704502 0.49366696 -48.532105 28.285033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49370917-0.49366696) × R
    4.2209999999987e-05 × 6371000     		dl = 268.919909999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49370917-0.49366696) × R
    4.2209999999987e-05 × 6371000     		dr = 268.919909999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84709295--0.84704502) × cos(0.49370917) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.88058116165198 × 6371000     		do = 268.896051101348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84709295--0.84704502) × cos(0.49366696) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.880601163990906 × 6371000     		du = 268.902159056168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49370917)-sin(0.49366696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88058116165198-0.880601163990906)×R²
    abs(-0.84704502--0.84709295)×2.00023389264059e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.00023389264059e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.00023389264059e-05×40589641000000     		ar = 72312.3231476337m²