Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47863 / 54792
↖ ↑ ↗
← N 28.285033°
W 48.540344°		 ← 268.96 m → N 28.285033°
W 48.537598°		 →
↑
268.92 m
↓
↑
268.92 m
↓
N 28.282615°
W 48.540344°		 ← 268.96 m →
72 329 m²		 N 28.282615°
W 48.537598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365169525146484 y=0.418033599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365169525146484 × 217)
    floor (0.365169525146484 × 131072)
    floor (47863.5)     		tx = 47863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418033599853516 × 217)
    floor (0.418033599853516 × 131072)
    floor (54792.5)     		ty = 54792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47863 / 54792 ti = "17/47863/54792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47863/54792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47863 ÷ 217
    47863 ÷ 131072     		x = 0.365165710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54792 ÷ 217
    54792 ÷ 131072     		y = 0.41802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365165710449219 × 2 - 1) × π
    -0.269668579101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.84718883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41802978515625 × 2 - 1) × π
    0.1639404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.515034049517883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84718883} λ = -0.84718883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515034049517883))-π/2
    2×atan(1.67369548935182)-π/2
    2×1.03223164340482-π/2
    2.06446328680963-1.57079632675     		φ = 0.49366696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84718883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.540344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49366696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.285033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47863 KachelY 54792 -0.84718883 0.49366696 -48.540344 28.285033
    Oben rechts KachelX + 1 47864 KachelY 54792 -0.84714089 0.49366696 -48.537598 28.285033
    Unten links KachelX 47863 KachelY + 1 54793 -0.84718883 0.49362475 -48.540344 28.282615
    Unten rechts KachelX + 1 47864 KachelY + 1 54793 -0.84714089 0.49362475 -48.537598 28.282615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49366696-0.49362475) × R
    4.2209999999987e-05 × 6371000     		dl = 268.919909999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49366696-0.49362475) × R
    4.2209999999987e-05 × 6371000     		dr = 268.919909999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84718883--0.84714089) × cos(0.49366696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880601163990906 × 6371000     		do = 268.958262156607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84718883--0.84714089) × cos(0.49362475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88062116476088 × 6371000     		du = 268.964370906577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49366696)-sin(0.49362475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880601163990906-0.88062116476088)×R²
    abs(-0.84714089--0.84718883)×2.00007699734384e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00007699734384e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00007699734384e-05×40589641000000     		ar = 72329.0530458028m²