Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47859 / 54796
↖ ↑ ↗
← N 28.275358°
W 48.551330°		 ← 268.93 m → N 28.275358°
W 48.548584°		 →
↑
268.98 m
↓
↑
268.98 m
↓
N 28.272939°
W 48.551330°		 ← 268.93 m →
72 338 m²		 N 28.272939°
W 48.548584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365139007568359 y=0.418064117431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365139007568359 × 217)
    floor (0.365139007568359 × 131072)
    floor (47859.5)     		tx = 47859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418064117431641 × 217)
    floor (0.418064117431641 × 131072)
    floor (54796.5)     		ty = 54796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47859 / 54796 ti = "17/47859/54796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47859/54796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47859 ÷ 217
    47859 ÷ 131072     		x = 0.365135192871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54796 ÷ 217
    54796 ÷ 131072     		y = 0.418060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365135192871094 × 2 - 1) × π
    -0.269729614257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.84738057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418060302734375 × 2 - 1) × π
    0.16387939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.514842301919403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84738057} λ = -0.84738057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514842301919403))-π/2
    2×atan(1.67337459302768)-π/2
    2×1.03214721299035-π/2
    2.06429442598069-1.57079632675     		φ = 0.49349810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84738057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.551330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49349810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.275358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47859 KachelY 54796 -0.84738057 0.49349810 -48.551330 28.275358
    Oben rechts KachelX + 1 47860 KachelY 54796 -0.84733264 0.49349810 -48.548584 28.275358
    Unten links KachelX 47859 KachelY + 1 54797 -0.84738057 0.49345588 -48.551330 28.272939
    Unten rechts KachelX + 1 47860 KachelY + 1 54797 -0.84733264 0.49345588 -48.548584 28.272939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49349810-0.49345588) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dl = 268.983619999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49349810-0.49345588) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dr = 268.983619999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84738057--0.84733264) × cos(0.49349810) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.880681167130915 × 6371000     		do = 268.92658897803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84738057--0.84733264) × cos(0.49345588) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.880701166360699 × 6371000     		du = 268.932695983435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49349810)-sin(0.49345588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880681167130915-0.880701166360699)×R²
    abs(-0.84733264--0.84738057)×1.9999229784351e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9999229784351e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9999229784351e-05×40589641000000     		ar = 72337.6687704861m²