Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47858 / 55089
↖ ↑ ↗
← N 27.564287°
W 48.554077°		 ← 270.76 m → N 27.564287°
W 48.551330°		 →
↑
270.77 m
↓
↑
270.77 m
↓
N 27.561852°
W 48.554077°		 ← 270.76 m →
73 313 m²		 N 27.561852°
W 48.551330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365131378173828 y=0.420299530029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365131378173828 × 217)
    floor (0.365131378173828 × 131072)
    floor (47858.5)     		tx = 47858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420299530029297 × 217)
    floor (0.420299530029297 × 131072)
    floor (55089.5)     		ty = 55089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47858 / 55089 ti = "17/47858/55089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47858/55089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47858 ÷ 217
    47858 ÷ 131072     		x = 0.365127563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55089 ÷ 217
    55089 ÷ 131072     		y = 0.420295715332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365127563476562 × 2 - 1) × π
    -0.269744873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84742851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420295715332031 × 2 - 1) × π
    0.159408569335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.500796790330727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84742851} λ = -0.84742851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500796790330727))-π/2
    2×atan(1.65003547937154)-π/2
    2×1.02594194225365-π/2
    2.0518838845073-1.57079632675     		φ = 0.48108756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84742851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.554077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48108756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.564287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47858 KachelY 55089 -0.84742851 0.48108756 -48.554077 27.564287
    Oben rechts KachelX + 1 47859 KachelY 55089 -0.84738057 0.48108756 -48.551330 27.564287
    Unten links KachelX 47858 KachelY + 1 55090 -0.84742851 0.48104506 -48.554077 27.561852
    Unten rechts KachelX + 1 47859 KachelY + 1 55090 -0.84738057 0.48104506 -48.551330 27.561852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48108756-0.48104506) × R
    4.25000000000009e-05 × 6371000     		dl = 270.767500000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48108756-0.48104506) × R
    4.25000000000009e-05 × 6371000     		dr = 270.767500000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84742851--0.84738057) × cos(0.48108756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886492185755263 × 6371000     		do = 270.757531838341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84742851--0.84738057) × cos(0.48104506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886511851556048 × 6371000     		du = 270.763538280099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48108756)-sin(0.48104506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886492185755263-0.886511851556048)×R²
    abs(-0.84738057--0.84742851)×1.96658007852735e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96658007852735e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96658007852735e-05×40589641000000     		ar = 73313.1531876935m²