Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47856 / 54992
↖ ↑ ↗
← N 27.800210°
W 48.559571°		 ← 270.17 m → N 27.800210°
W 48.556824°		 →
↑
270.19 m
↓
↑
270.19 m
↓
N 27.797780°
W 48.559571°		 ← 270.18 m →
73 000 m²		 N 27.797780°
W 48.556824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365116119384766 y=0.419559478759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365116119384766 × 217)
    floor (0.365116119384766 × 131072)
    floor (47856.5)     		tx = 47856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419559478759766 × 217)
    floor (0.419559478759766 × 131072)
    floor (54992.5)     		ty = 54992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47856 / 54992 ti = "17/47856/54992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47856/54992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47856 ÷ 217
    47856 ÷ 131072     		x = 0.3651123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54992 ÷ 217
    54992 ÷ 131072     		y = 0.4195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3651123046875 × 2 - 1) × π
    -0.269775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84752439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4195556640625 × 2 - 1) × π
    0.160888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.505446669593872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84752439} λ = -0.84752439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505446669593872))-π/2
    2×atan(1.65772581083062)-π/2
    2×1.02800076146786-π/2
    2.05600152293571-1.57079632675     		φ = 0.48520520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84752439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.559571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48520520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.800210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47856 KachelY 54992 -0.84752439 0.48520520 -48.559571 27.800210
    Oben rechts KachelX + 1 47857 KachelY 54992 -0.84747645 0.48520520 -48.556824 27.800210
    Unten links KachelX 47856 KachelY + 1 54993 -0.84752439 0.48516279 -48.559571 27.797780
    Unten rechts KachelX + 1 47857 KachelY + 1 54993 -0.84747645 0.48516279 -48.556824 27.797780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48520520-0.48516279) × R
    4.24099999999927e-05 × 6371000     		dl = 270.194109999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48520520-0.48516279) × R
    4.24099999999927e-05 × 6371000     		dr = 270.194109999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84752439--0.84747645) × cos(0.48520520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884579264528319 × 6371000     		do = 270.17327645704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84752439--0.84747645) × cos(0.48516279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884599043327827 × 6371000     		du = 270.179317411517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48520520)-sin(0.48516279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884579264528319-0.884599043327827)×R²
    abs(-0.84747645--0.84752439)×1.97787995083187e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97787995083187e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97787995083187e-05×40589641000000     		ar = 73000.0441041786m²