Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47854 / 54787
↖ ↑ ↗
← N 28.297126°
W 48.565064°		 ← 268.93 m → N 28.297126°
W 48.562317°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
N 28.294708°
W 48.565064°		 ← 268.93 m →
72 304 m²		 N 28.294708°
W 48.562317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365100860595703 y=0.417995452880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365100860595703 × 217)
    floor (0.365100860595703 × 131072)
    floor (47854.5)     		tx = 47854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417995452880859 × 217)
    floor (0.417995452880859 × 131072)
    floor (54787.5)     		ty = 54787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47854 / 54787 ti = "17/47854/54787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47854/54787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47854 ÷ 217
    47854 ÷ 131072     		x = 0.365097045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54787 ÷ 217
    54787 ÷ 131072     		y = 0.417991638183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365097045898438 × 2 - 1) × π
    -0.269805908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84762026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417991638183594 × 2 - 1) × π
    0.164016723632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.515273734015984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84762026} λ = -0.84762026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515273734015984))-π/2
    2×atan(1.67409669629478)-π/2
    2×1.03233717063522-π/2
    2.06467434127045-1.57079632675     		φ = 0.49387801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84762026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.565064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49387801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.297126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47854 KachelY 54787 -0.84762026 0.49387801 -48.565064 28.297126
    Oben rechts KachelX + 1 47855 KachelY 54787 -0.84757232 0.49387801 -48.562317 28.297126
    Unten links KachelX 47854 KachelY + 1 54788 -0.84762026 0.49383581 -48.565064 28.294708
    Unten rechts KachelX + 1 47855 KachelY + 1 54788 -0.84757232 0.49383581 -48.562317 28.294708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49387801-0.49383581) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dl = 268.856199999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49387801-0.49383581) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dr = 268.856199999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84762026--0.84757232) × cos(0.49387801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880501136607456 × 6371000     		do = 268.927711218997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84762026--0.84757232) × cos(0.49383581) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880521140481769 × 6371000     		du = 268.933820917112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49387801)-sin(0.49383581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880501136607456-0.880521140481769)×R²
    abs(-0.84757232--0.84762026)×2.00038743137787e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00038743137787e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00038743137787e-05×40589641000000     		ar = 72303.7038388256m²