Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47854 / 54785
↖ ↑ ↗
← N 28.301962°
W 48.565064°		 ← 268.92 m → N 28.301962°
W 48.562317°		 →
↑
268.92 m
↓
↑
268.92 m
↓
N 28.299544°
W 48.565064°		 ← 268.92 m →
72 318 m²		 N 28.299544°
W 48.562317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365100860595703 y=0.417980194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365100860595703 × 217)
    floor (0.365100860595703 × 131072)
    floor (47854.5)     		tx = 47854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417980194091797 × 217)
    floor (0.417980194091797 × 131072)
    floor (54785.5)     		ty = 54785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47854 / 54785 ti = "17/47854/54785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47854/54785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47854 ÷ 217
    47854 ÷ 131072     		x = 0.365097045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54785 ÷ 217
    54785 ÷ 131072     		y = 0.417976379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365097045898438 × 2 - 1) × π
    -0.269805908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84762026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417976379394531 × 2 - 1) × π
    0.164047241210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.515369607815224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84762026} λ = -0.84762026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515369607815224))-π/2
    2×atan(1.67425720599956)-π/2
    2×1.03237937817053-π/2
    2.06475875634106-1.57079632675     		φ = 0.49396243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84762026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.565064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49396243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.301962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47854 KachelY 54785 -0.84762026 0.49396243 -48.565064 28.301962
    Oben rechts KachelX + 1 47855 KachelY 54785 -0.84757232 0.49396243 -48.562317 28.301962
    Unten links KachelX 47854 KachelY + 1 54786 -0.84762026 0.49392022 -48.565064 28.299544
    Unten rechts KachelX + 1 47855 KachelY + 1 54786 -0.84757232 0.49392022 -48.562317 28.299544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49396243-0.49392022) × R
    4.2209999999987e-05 × 6371000     		dl = 268.919909999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49396243-0.49392022) × R
    4.2209999999987e-05 × 6371000     		dr = 268.919909999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84762026--0.84757232) × cos(0.49396243) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880461114672402 × 6371000     		do = 268.915487489867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84762026--0.84757232) × cos(0.49392022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880481126424298 × 6371000     		du = 268.921599593998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49396243)-sin(0.49392022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880461114672402-0.880481126424298)×R²
    abs(-0.84757232--0.84762026)×2.0011751896587e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0011751896587e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0011751896587e-05×40589641000000     		ar = 72317.5505373248m²