Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47850 / 54782
↖ ↑ ↗
← N 28.309217°
W 48.576050°		 ← 268.90 m → N 28.309217°
W 48.573303°		 →
↑
268.92 m
↓
↑
268.92 m
↓
N 28.306799°
W 48.576050°		 ← 268.90 m →
72 313 m²		 N 28.306799°
W 48.573303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365070343017578 y=0.417957305908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365070343017578 × 217)
    floor (0.365070343017578 × 131072)
    floor (47850.5)     		tx = 47850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417957305908203 × 217)
    floor (0.417957305908203 × 131072)
    floor (54782.5)     		ty = 54782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47850 / 54782 ti = "17/47850/54782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47850/54782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47850 ÷ 217
    47850 ÷ 131072     		x = 0.365066528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54782 ÷ 217
    54782 ÷ 131072     		y = 0.417953491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365066528320312 × 2 - 1) × π
    -0.269866943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.84781201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417953491210938 × 2 - 1) × π
    0.164093017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.515513418514084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84781201} λ = -0.84781201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515513418514084))-π/2
    2×atan(1.67449799941235)-π/2
    2×1.0324426858762-π/2
    2.0648853717524-1.57079632675     		φ = 0.49408905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84781201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.576050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49408905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.309217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47850 KachelY 54782 -0.84781201 0.49408905 -48.576050 28.309217
    Oben rechts KachelX + 1 47851 KachelY 54782 -0.84776407 0.49408905 -48.573303 28.309217
    Unten links KachelX 47850 KachelY + 1 54783 -0.84781201 0.49404684 -48.576050 28.306799
    Unten rechts KachelX + 1 47851 KachelY + 1 54783 -0.84776407 0.49404684 -48.573303 28.306799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49408905-0.49404684) × R
    4.2209999999987e-05 × 6371000     		dl = 268.919909999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49408905-0.49404684) × R
    4.2209999999987e-05 × 6371000     		dr = 268.919909999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84781201--0.84776407) × cos(0.49408905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880401074746932 × 6371000     		do = 268.897149751201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84781201--0.84776407) × cos(0.49404684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88042109120446 × 6371000     		du = 268.903263292553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49408905)-sin(0.49404684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880401074746932-0.88042109120446)×R²
    abs(-0.84776407--0.84781201)×2.00164575285822e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00164575285822e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00164575285822e-05×40589641000000     		ar = 72312.6193475906m²