Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47850 / 54759
↖ ↑ ↗
← N 28.364819°
W 48.576050°		 ← 268.76 m → N 28.364819°
W 48.573303°		 →
↑
268.79 m
↓
↑
268.79 m
↓
N 28.362402°
W 48.576050°		 ← 268.76 m →
72 241 m²		 N 28.362402°
W 48.573303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365070343017578 y=0.417781829833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365070343017578 × 217)
    floor (0.365070343017578 × 131072)
    floor (47850.5)     		tx = 47850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417781829833984 × 217)
    floor (0.417781829833984 × 131072)
    floor (54759.5)     		ty = 54759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47850 / 54759 ti = "17/47850/54759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47850/54759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47850 ÷ 217
    47850 ÷ 131072     		x = 0.365066528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54759 ÷ 217
    54759 ÷ 131072     		y = 0.417778015136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365066528320312 × 2 - 1) × π
    -0.269866943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.84781201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417778015136719 × 2 - 1) × π
    0.164443969726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.516615967205345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84781201} λ = -0.84781201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516615967205345))-π/2
    2×atan(1.67634523313556)-π/2
    2×1.03292790146638-π/2
    2.06585580293275-1.57079632675     		φ = 0.49505948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84781201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.576050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49505948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.364819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47850 KachelY 54759 -0.84781201 0.49505948 -48.576050 28.364819
    Oben rechts KachelX + 1 47851 KachelY 54759 -0.84776407 0.49505948 -48.573303 28.364819
    Unten links KachelX 47850 KachelY + 1 54760 -0.84781201 0.49501729 -48.576050 28.362402
    Unten rechts KachelX + 1 47851 KachelY + 1 54760 -0.84776407 0.49501729 -48.573303 28.362402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49505948-0.49501729) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dl = 268.792489999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49505948-0.49501729) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dr = 268.792489999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84781201--0.84776407) × cos(0.49505948) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879940453396996 × 6371000     		do = 268.756464134537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84781201--0.84776407) × cos(0.49501729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879960496407423 × 6371000     		du = 268.762585785828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49505948)-sin(0.49501729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879940453396996-0.879960496407423)×R²
    abs(-0.84776407--0.84781201)×2.00430104277949e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00430104277949e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00430104277949e-05×40589641000000     		ar = 72240.5419360329m²