Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4785 / 2927
↖ ↑ ↗
← N 81.336499°
W127.430420°		 ← 184.01 m → N 81.336499°
W127.419434°		 →
↑
183.99 m
↓
↑
183.99 m
↓
N 81.334844°
W127.430420°		 ← 184.04 m →
33 860 m²		 N 81.334844°
W127.419434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146041870117188 y=0.0893402099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146041870117188 × 215)
    floor (0.146041870117188 × 32768)
    floor (4785.5)     		tx = 4785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0893402099609375 × 215)
    floor (0.0893402099609375 × 32768)
    floor (2927.5)     		ty = 2927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4785 / 2927 ti = "15/4785/2927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4785/2927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4785 ÷ 215
    4785 ÷ 32768     		x = 0.146026611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2927 ÷ 215
    2927 ÷ 32768     		y = 0.089324951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146026611328125 × 2 - 1) × π
    -0.70794677734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22408039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089324951171875 × 2 - 1) × π
    0.82135009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58034743274838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22408039} λ = -2.22408039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58034743274838))-π/2
    2×atan(13.2017240742423)-π/2
    2×1.49519302064077-π/2
    2.99038604128153-1.57079632675     		φ = 1.41958971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22408039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.430420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41958971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.336499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4785 KachelY 2927 -2.22408039 1.41958971 -127.430420 81.336499
    Oben rechts KachelX + 1 4786 KachelY 2927 -2.22388865 1.41958971 -127.419434 81.336499
    Unten links KachelX 4785 KachelY + 1 2928 -2.22408039 1.41956083 -127.430420 81.334844
    Unten rechts KachelX + 1 4786 KachelY + 1 2928 -2.22388865 1.41956083 -127.419434 81.334844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41958971-1.41956083) × R
    2.88799999998979e-05 × 6371000     		dl = 183.994479999349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41958971-1.41956083) × R
    2.88799999998979e-05 × 6371000     		dr = 183.994479999349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22408039--2.22388865) × cos(1.41958971) × R
    0.000191739999999996 × 0.150631091187767 × 6371000     		do = 184.007256558482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22408039--2.22388865) × cos(1.41956083) × R
    0.000191739999999996 × 0.150659641605406 × 6371000     		du = 184.042133050326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41958971)-sin(1.41956083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150631091187767-0.150659641605406)×R²
    abs(-2.22388865--2.22408039)×2.85504176387452e-05×R²
    0.000191739999999996×2.85504176387452e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.85504176387452e-05×40589641000000     		ar = 33859.5280291159m²