Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47849 / 54757
↖ ↑ ↗
← N 28.369652°
W 48.578796°		 ← 268.69 m → N 28.369652°
W 48.576050°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
N 28.367236°
W 48.578796°		 ← 268.69 m →
72 205 m²		 N 28.367236°
W 48.576050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365062713623047 y=0.417766571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365062713623047 × 217)
    floor (0.365062713623047 × 131072)
    floor (47849.5)     		tx = 47849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417766571044922 × 217)
    floor (0.417766571044922 × 131072)
    floor (54757.5)     		ty = 54757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47849 / 54757 ti = "17/47849/54757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47849/54757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47849 ÷ 217
    47849 ÷ 131072     		x = 0.365058898925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54757 ÷ 217
    54757 ÷ 131072     		y = 0.417762756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365058898925781 × 2 - 1) × π
    -0.269882202148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.84785994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417762756347656 × 2 - 1) × π
    0.164474487304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.516711841004585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84785994} λ = -0.84785994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516711841004585))-π/2
    2×atan(1.67650595842644)-π/2
    2×1.03297008212297-π/2
    2.06594016424594-1.57079632675     		φ = 0.49514384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84785994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.578796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49514384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.369652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47849 KachelY 54757 -0.84785994 0.49514384 -48.578796 28.369652
    Oben rechts KachelX + 1 47850 KachelY 54757 -0.84781201 0.49514384 -48.576050 28.369652
    Unten links KachelX 47849 KachelY + 1 54758 -0.84785994 0.49510166 -48.578796 28.367236
    Unten rechts KachelX + 1 47850 KachelY + 1 54758 -0.84781201 0.49510166 -48.576050 28.367236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49514384-0.49510166) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dl = 268.728780000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49514384-0.49510166) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dr = 268.728780000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84785994--0.84781201) × cos(0.49514384) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.879900372180469 × 6371000     		do = 268.688163846948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84785994--0.84781201) × cos(0.49510166) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.879920413571488 × 6371000     		du = 268.694283726794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49514384)-sin(0.49510166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879900372180469-0.879920413571488)×R²
    abs(-0.84781201--0.84785994)×2.00413910197428e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00413910197428e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00413910197428e-05×40589641000000     		ar = 72205.0647756985m²