Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47848 / 54762
↖ ↑ ↗
← N 28.357568°
W 48.581543°		 ← 268.77 m → N 28.357568°
W 48.578796°		 →
↑
268.79 m
↓
↑
268.79 m
↓
N 28.355151°
W 48.581543°		 ← 268.78 m →
72 245 m²		 N 28.355151°
W 48.578796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365055084228516 y=0.417804718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365055084228516 × 217)
    floor (0.365055084228516 × 131072)
    floor (47848.5)     		tx = 47848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417804718017578 × 217)
    floor (0.417804718017578 × 131072)
    floor (54762.5)     		ty = 54762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47848 / 54762 ti = "17/47848/54762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47848/54762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47848 ÷ 217
    47848 ÷ 131072     		x = 0.36505126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54762 ÷ 217
    54762 ÷ 131072     		y = 0.417800903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36505126953125 × 2 - 1) × π
    -0.2698974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.84790788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417800903320312 × 2 - 1) × π
    0.164398193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.516472156506485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84790788} λ = -0.84790788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516472156506485))-π/2
    2×atan(1.6761041740899)-π/2
    2×1.03286462687913-π/2
    2.06572925375826-1.57079632675     		φ = 0.49493293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84790788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.581543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49493293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.357568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47848 KachelY 54762 -0.84790788 0.49493293 -48.581543 28.357568
    Oben rechts KachelX + 1 47849 KachelY 54762 -0.84785994 0.49493293 -48.578796 28.357568
    Unten links KachelX 47848 KachelY + 1 54763 -0.84790788 0.49489074 -48.581543 28.355151
    Unten rechts KachelX + 1 47849 KachelY + 1 54763 -0.84785994 0.49489074 -48.578796 28.355151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49493293-0.49489074) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dl = 268.792489999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49493293-0.49489074) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dr = 268.792489999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84790788--0.84785994) × cos(0.49493293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880000568229812 × 6371000     		do = 268.774824751835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84790788--0.84785994) × cos(0.49489074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880020606541897 × 6371000     		du = 268.780944968131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49493293)-sin(0.49489074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880000568229812-0.880020606541897)×R²
    abs(-0.84785994--0.84790788)×2.00383120845249e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00383120845249e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00383120845249e-05×40589641000000     		ar = 72245.4769392113m²