Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47847 / 54760
↖ ↑ ↗
← N 28.362402°
W 48.584290°		 ← 268.76 m → N 28.362402°
W 48.581543°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
N 28.359985°
W 48.584290°		 ← 268.77 m →
72 225 m²		 N 28.359985°
W 48.581543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365047454833984 y=0.417789459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365047454833984 × 217)
    floor (0.365047454833984 × 131072)
    floor (47847.5)     		tx = 47847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417789459228516 × 217)
    floor (0.417789459228516 × 131072)
    floor (54760.5)     		ty = 54760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47847 / 54760 ti = "17/47847/54760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47847/54760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47847 ÷ 217
    47847 ÷ 131072     		x = 0.365043640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54760 ÷ 217
    54760 ÷ 131072     		y = 0.41778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365043640136719 × 2 - 1) × π
    -0.269912719726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.84795582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41778564453125 × 2 - 1) × π
    0.1644287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.516568030305725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84795582} λ = -0.84795582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516568030305725))-π/2
    2×atan(1.67626487626843)-π/2
    2×1.03290681041758-π/2
    2.06581362083516-1.57079632675     		φ = 0.49501729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84795582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.584290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49501729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.362402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47847 KachelY 54760 -0.84795582 0.49501729 -48.584290 28.362402
    Oben rechts KachelX + 1 47848 KachelY 54760 -0.84790788 0.49501729 -48.581543 28.362402
    Unten links KachelX 47847 KachelY + 1 54761 -0.84795582 0.49497511 -48.584290 28.359985
    Unten rechts KachelX + 1 47848 KachelY + 1 54761 -0.84790788 0.49497511 -48.581543 28.359985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49501729-0.49497511) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dl = 268.728780000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49501729-0.49497511) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dr = 268.728780000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84795582--0.84790788) × cos(0.49501729) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.879960496407423 × 6371000     		do = 268.762585786451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84795582--0.84790788) × cos(0.49497511) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.879980533101428 × 6371000     		du = 268.768705508544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49501729)-sin(0.49497511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879960496407423-0.879980533101428)×R²
    abs(-0.84790788--0.84795582)×2.00366940040775e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.00366940040775e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.00366940040775e-05×40589641000000     		ar = 72225.0640714302m²