Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 47844 / 51260
↖ ↑ ↗
← S 70.721726°
E 82.814942°		 ← 201.66 m → S 70.721726°
E 82.820435°		 →
↑
201.64 m
↓
↑
201.64 m
↓
S 70.723540°
E 82.814942°		 ← 201.64 m →
40 660 m²		 S 70.723540°
E 82.820435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.730049133300781 y=0.782173156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.730049133300781 × 216)
    floor (0.730049133300781 × 65536)
    floor (47844.5)     		tx = 47844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782173156738281 × 216)
    floor (0.782173156738281 × 65536)
    floor (51260.5)     		ty = 51260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 47844 / 51260 ti = "16/47844/51260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/47844/51260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47844 ÷ 216
    47844 ÷ 65536     		x = 0.73004150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51260 ÷ 216
    51260 ÷ 65536     		y = 0.78216552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73004150390625 × 2 - 1) × π
    0.4600830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.44539340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78216552734375 × 2 - 1) × π
    -0.5643310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77289829554816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.44539340} λ = 1.44539340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77289829554816))-π/2
    2×atan(0.169840028200063)-π/2
    2×0.168234674567076-π/2
    0.336469349134152-1.57079632675     		φ = -1.23432698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.44539340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 82.814942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23432698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.721726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47844 KachelY 51260 1.44539340 -1.23432698 82.814942 -70.721726
    Oben rechts KachelX + 1 47845 KachelY 51260 1.44548927 -1.23432698 82.820435 -70.721726
    Unten links KachelX 47844 KachelY + 1 51261 1.44539340 -1.23435863 82.814942 -70.723540
    Unten rechts KachelX + 1 47845 KachelY + 1 51261 1.44548927 -1.23435863 82.820435 -70.723540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23432698--1.23435863) × R
    3.16499999999387e-05 × 6371000     		dl = 201.642149999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23432698--1.23435863) × R
    3.16499999999387e-05 × 6371000     		dr = 201.642149999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.44539340-1.44548927) × cos(-1.23432698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330156480733137 × 6371000     		do = 201.655540618036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.44539340-1.44548927) × cos(-1.23435863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330126605303094 × 6371000     		du = 201.637293070743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23432698)-sin(-1.23435863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330156480733137-0.330126605303094)×R²
    abs(1.44548927-1.44539340)×2.98754300432913e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98754300432913e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98754300432913e-05×40589641000000     		ar = 40660.4170356096m²