Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47841 / 55051
↖ ↑ ↗
← N 27.656771°
W 48.600769°		 ← 270.53 m → N 27.656771°
W 48.598022°		 →
↑
270.51 m
↓
↑
270.51 m
↓
N 27.654338°
W 48.600769°		 ← 270.54 m →
73 182 m²		 N 27.654338°
W 48.598022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365001678466797 y=0.420009613037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365001678466797 × 217)
    floor (0.365001678466797 × 131072)
    floor (47841.5)     		tx = 47841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420009613037109 × 217)
    floor (0.420009613037109 × 131072)
    floor (55051.5)     		ty = 55051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47841 / 55051 ti = "17/47841/55051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47841/55051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47841 ÷ 217
    47841 ÷ 131072     		x = 0.364997863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55051 ÷ 217
    55051 ÷ 131072     		y = 0.420005798339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364997863769531 × 2 - 1) × π
    -0.270004272460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.84824344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420005798339844 × 2 - 1) × π
    0.159988403320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.502618392516289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84824344} λ = -0.84824344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502618392516289))-π/2
    2×atan(1.65304392687239)-π/2
    2×1.02674901975085-π/2
    2.05349803950171-1.57079632675     		φ = 0.48270171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84824344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.600769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48270171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.656771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47841 KachelY 55051 -0.84824344 0.48270171 -48.600769 27.656771
    Oben rechts KachelX + 1 47842 KachelY 55051 -0.84819550 0.48270171 -48.598022 27.656771
    Unten links KachelX 47841 KachelY + 1 55052 -0.84824344 0.48265925 -48.600769 27.654338
    Unten rechts KachelX + 1 47842 KachelY + 1 55052 -0.84819550 0.48265925 -48.598022 27.654338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48270171-0.48265925) × R
    4.24600000000219e-05 × 6371000     		dl = 270.51266000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48270171-0.48265925) × R
    4.24600000000219e-05 × 6371000     		dr = 270.51266000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84824344--0.84819550) × cos(0.48270171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885744093689601 × 6371000     		do = 270.529045265598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84824344--0.84819550) × cos(0.48265925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885763801714548 × 6371000     		du = 270.535064603702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48270171)-sin(0.48265925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885744093689601-0.885763801714548)×R²
    abs(-0.84819550--0.84824344)×1.97080249463299e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97080249463299e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97080249463299e-05×40589641000000     		ar = 73182.3458067207m²