Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47840 / 54879
↖ ↑ ↗
← N 28.074404°
W 48.603516°		 ← 269.49 m → N 28.074404°
W 48.600769°		 →
↑
269.49 m
↓
↑
269.49 m
↓
N 28.071980°
W 48.603516°		 ← 269.49 m →
72 626 m²		 N 28.071980°
W 48.600769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364994049072266 y=0.418697357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364994049072266 × 217)
    floor (0.364994049072266 × 131072)
    floor (47840.5)     		tx = 47840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418697357177734 × 217)
    floor (0.418697357177734 × 131072)
    floor (54879.5)     		ty = 54879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47840 / 54879 ti = "17/47840/54879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47840/54879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47840 ÷ 217
    47840 ÷ 131072     		x = 0.364990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54879 ÷ 217
    54879 ÷ 131072     		y = 0.418693542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364990234375 × 2 - 1) × π
    -0.27001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84829138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418693542480469 × 2 - 1) × π
    0.162612915039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.510863539250938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84829138} λ = -0.84829138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510863539250938))-π/2
    2×atan(1.66672986033958)-π/2
    2×1.03039355379491-π/2
    2.06078710758982-1.57079632675     		φ = 0.48999078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84829138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.603516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48999078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.074404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47840 KachelY 54879 -0.84829138 0.48999078 -48.603516 28.074404
    Oben rechts KachelX + 1 47841 KachelY 54879 -0.84824344 0.48999078 -48.600769 28.074404
    Unten links KachelX 47840 KachelY + 1 54880 -0.84829138 0.48994848 -48.603516 28.071980
    Unten rechts KachelX + 1 47841 KachelY + 1 54880 -0.84824344 0.48994848 -48.600769 28.071980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48999078-0.48994848) × R
    4.22999999999951e-05 × 6371000     		dl = 269.493299999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48999078-0.48994848) × R
    4.22999999999951e-05 × 6371000     		dr = 269.493299999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84829138--0.84824344) × cos(0.48999078) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.882337197743308 × 6371000     		do = 269.488491550723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84829138--0.84824344) × cos(0.48994848) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.882357104084877 × 6371000     		du = 269.494571459828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48999078)-sin(0.48994848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882337197743308-0.882357104084877)×R²
    abs(-0.84824344--0.84829138)×1.99063415691203e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.99063415691203e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.99063415691203e-05×40589641000000     		ar = 72626.1621582636m²