Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4784 / 3695
↖ ↑ ↗
← N 17.350639°
E 30.234375°		 ← 4 664.15 m → N 17.350639°
E 30.278320°		 →
↑
4 664.72 m
↓
↑
4 664.72 m
↓
N 17.308688°
E 30.234375°		 ← 4 665.21 m →
21 759 417 m²		 N 17.308688°
E 30.278320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58404541015625 y=0.45111083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58404541015625 × 213)
    floor (0.58404541015625 × 8192)
    floor (4784.5)     		tx = 4784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45111083984375 × 213)
    floor (0.45111083984375 × 8192)
    floor (3695.5)     		ty = 3695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4784 / 3695 ti = "13/4784/3695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4784/3695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4784 ÷ 213
    4784 ÷ 8192     		x = 0.583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3695 ÷ 213
    3695 ÷ 8192     		y = 0.4510498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583984375 × 2 - 1) × π
    0.16796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52768939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4510498046875 × 2 - 1) × π
    0.097900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.30756314796228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52768939} λ = 0.52768939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.30756314796228))-π/2
    2×atan(1.36010669375639)-π/2
    2×0.93681104688572-π/2
    1.87362209377144-1.57079632675     		φ = 0.30282577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52768939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30282577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.350639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4784 KachelY 3695 0.52768939 0.30282577 30.234375 17.350639
    Oben rechts KachelX + 1 4785 KachelY 3695 0.52845638 0.30282577 30.278320 17.350639
    Unten links KachelX 4784 KachelY + 1 3696 0.52768939 0.30209359 30.234375 17.308688
    Unten rechts KachelX + 1 4785 KachelY + 1 3696 0.52845638 0.30209359 30.278320 17.308688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30282577-0.30209359) × R
    0.000732179999999971 × 6371000     		dl = 4664.71877999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30282577-0.30209359) × R
    0.000732179999999971 × 6371000     		dr = 4664.71877999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52768939-0.52845638) × cos(0.30282577) × R
    0.000766989999999912 × 0.954497603935591 × 6371000     		do = 4664.14613695181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52768939-0.52845638) × cos(0.30209359) × R
    0.000766989999999912 × 0.954715697752077 × 6371000     		du = 4665.21185092266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30282577)-sin(0.30209359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954497603935591-0.954715697752077)×R²
    abs(0.52845638-0.52768939)×0.000218093816485854×R²
    0.000766989999999912×0.000218093816485854×6371000²
    0.000766989999999912×0.000218093816485854×40589641000000     		ar = 21759416.6777689m²