Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47837 / 54777
↖ ↑ ↗
← N 28.321307°
W 48.611756°		 ← 268.87 m → N 28.321307°
W 48.609009°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
N 28.318889°
W 48.611756°		 ← 268.87 m →
72 287 m²		 N 28.318889°
W 48.609009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364971160888672 y=0.417919158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364971160888672 × 217)
    floor (0.364971160888672 × 131072)
    floor (47837.5)     		tx = 47837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417919158935547 × 217)
    floor (0.417919158935547 × 131072)
    floor (54777.5)     		ty = 54777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47837 / 54777 ti = "17/47837/54777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47837/54777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47837 ÷ 217
    47837 ÷ 131072     		x = 0.364967346191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54777 ÷ 217
    54777 ÷ 131072     		y = 0.417915344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364967346191406 × 2 - 1) × π
    -0.270065307617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.84843519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417915344238281 × 2 - 1) × π
    0.164169311523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.515753103012184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84843519} λ = -0.84843519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515753103012184))-π/2
    2×atan(1.67489939872758)-π/2
    2×1.03254818912441-π/2
    2.06509637824882-1.57079632675     		φ = 0.49430005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84843519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.611756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49430005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.321307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47837 KachelY 54777 -0.84843519 0.49430005 -48.611756 28.321307
    Oben rechts KachelX + 1 47838 KachelY 54777 -0.84838725 0.49430005 -48.609009 28.321307
    Unten links KachelX 47837 KachelY + 1 54778 -0.84843519 0.49425785 -48.611756 28.318889
    Unten rechts KachelX + 1 47838 KachelY + 1 54778 -0.84838725 0.49425785 -48.609009 28.318889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49430005-0.49425785) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dl = 268.856199999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49430005-0.49425785) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dr = 268.856199999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84843519--0.84838725) × cos(0.49430005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880300992651834 × 6371000     		do = 268.866582103245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84843519--0.84838725) × cos(0.49425785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880321012206347 × 6371000     		du = 268.872696590496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49430005)-sin(0.49425785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880300992651834-0.880321012206347)×R²
    abs(-0.84838725--0.84843519)×2.00195545125847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00195545125847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00195545125847e-05×40589641000000     		ar = 72287.2695409011m²