Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47835 / 54775
↖ ↑ ↗
← N 28.326142°
W 48.617249°		 ← 268.85 m → N 28.326142°
W 48.614502°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
N 28.323725°
W 48.617249°		 ← 268.86 m →
72 284 m²		 N 28.323725°
W 48.614502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364955902099609 y=0.417903900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364955902099609 × 217)
    floor (0.364955902099609 × 131072)
    floor (47835.5)     		tx = 47835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417903900146484 × 217)
    floor (0.417903900146484 × 131072)
    floor (54775.5)     		ty = 54775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47835 / 54775 ti = "17/47835/54775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47835/54775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47835 ÷ 217
    47835 ÷ 131072     		x = 0.364952087402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54775 ÷ 217
    54775 ÷ 131072     		y = 0.417900085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364952087402344 × 2 - 1) × π
    -0.270095825195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.84853106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417900085449219 × 2 - 1) × π
    0.164199829101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.515848976811424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84853106} λ = -0.84853106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515848976811424))-π/2
    2×atan(1.67505998539419)-π/2
    2×1.03259038706498-π/2
    2.06518077412995-1.57079632675     		φ = 0.49438445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84853106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.617249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49438445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.326142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47835 KachelY 54775 -0.84853106 0.49438445 -48.617249 28.326142
    Oben rechts KachelX + 1 47836 KachelY 54775 -0.84848312 0.49438445 -48.614502 28.326142
    Unten links KachelX 47835 KachelY + 1 54776 -0.84853106 0.49434225 -48.617249 28.323725
    Unten rechts KachelX + 1 47836 KachelY + 1 54776 -0.84848312 0.49434225 -48.614502 28.323725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49438445-0.49434225) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dl = 268.856199999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49438445-0.49434225) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dr = 268.856199999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84853106--0.84848312) × cos(0.49438445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880260948839819 × 6371000     		do = 268.854351692327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84853106--0.84848312) × cos(0.49434225) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880280971529646 × 6371000     		du = 268.860467137185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49438445)-sin(0.49434225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880260948839819-0.880280971529646)×R²
    abs(-0.84848312--0.84853106)×2.00226898273703e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00226898273703e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00226898273703e-05×40589641000000     		ar = 72283.9814478446m²