Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 47832 / 51240
↖ ↑ ↗
← S 70.685422°
E 82.749023°		 ← 202.04 m → S 70.685422°
E 82.754517°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
S 70.687238°
E 82.749023°		 ← 202.02 m →
40 816 m²		 S 70.687238°
E 82.754517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.729866027832031 y=0.781867980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.729866027832031 × 216)
    floor (0.729866027832031 × 65536)
    floor (47832.5)     		tx = 47832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781867980957031 × 216)
    floor (0.781867980957031 × 65536)
    floor (51240.5)     		ty = 51240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 47832 / 51240 ti = "16/47832/51240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/47832/51240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47832 ÷ 216
    47832 ÷ 65536     		x = 0.7298583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51240 ÷ 216
    51240 ÷ 65536     		y = 0.7818603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7298583984375 × 2 - 1) × π
    0.459716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.44424291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7818603515625 × 2 - 1) × π
    -0.563720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77098081956335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.44424291} λ = 1.44424291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77098081956335))-π/2
    2×atan(0.17016600480167)-π/2
    2×0.168551494738308-π/2
    0.337102989476615-1.57079632675     		φ = -1.23369334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.44424291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 82.749023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23369334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.685422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47832 KachelY 51240 1.44424291 -1.23369334 82.749023 -70.685422
    Oben rechts KachelX + 1 47833 KachelY 51240 1.44433879 -1.23369334 82.754517 -70.685422
    Unten links KachelX 47832 KachelY + 1 51241 1.44424291 -1.23372505 82.749023 -70.687238
    Unten rechts KachelX + 1 47833 KachelY + 1 51241 1.44433879 -1.23372505 82.754517 -70.687238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23369334--1.23372505) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dl = 202.024410000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23369334--1.23372505) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dr = 202.024410000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.44424291-1.44433879) × cos(-1.23369334) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.330754523820752 × 6371000     		do = 202.041890392469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.44424291-1.44433879) × cos(-1.23372505) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.330724598393959 × 6371000     		du = 202.023610401223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23369334)-sin(-1.23372505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330754523820752-0.330724598393959)×R²
    abs(1.44433879-1.44424291)×2.9925426792865e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.9925426792865e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.9925426792865e-05×40589641000000     		ar = 40815.5472030513m²