Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47826 / 55058
↖ ↑ ↗
← N 27.639740°
W 48.641968°		 ← 270.51 m → N 27.639740°
W 48.639221°		 →
↑
270.58 m
↓
↑
270.58 m
↓
N 27.637307°
W 48.641968°		 ← 270.52 m →
73 196 m²		 N 27.637307°
W 48.639221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364887237548828 y=0.420063018798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364887237548828 × 217)
    floor (0.364887237548828 × 131072)
    floor (47826.5)     		tx = 47826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420063018798828 × 217)
    floor (0.420063018798828 × 131072)
    floor (55058.5)     		ty = 55058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47826 / 55058 ti = "17/47826/55058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47826/55058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47826 ÷ 217
    47826 ÷ 131072     		x = 0.364883422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55058 ÷ 217
    55058 ÷ 131072     		y = 0.420059204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364883422851562 × 2 - 1) × π
    -0.270233154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84896249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420059204101562 × 2 - 1) × π
    0.159881591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.502282834218948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84896249} λ = -0.84896249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502282834218948))-π/2
    2×atan(1.65248932732231)-π/2
    2×1.02660039878917-π/2
    2.05320079757833-1.57079632675     		φ = 0.48240447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84896249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.641968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48240447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.639740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47826 KachelY 55058 -0.84896249 0.48240447 -48.641968 27.639740
    Oben rechts KachelX + 1 47827 KachelY 55058 -0.84891456 0.48240447 -48.639221 27.639740
    Unten links KachelX 47826 KachelY + 1 55059 -0.84896249 0.48236200 -48.641968 27.637307
    Unten rechts KachelX + 1 47827 KachelY + 1 55059 -0.84891456 0.48236200 -48.639221 27.637307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48240447-0.48236200) × R
    4.24699999999611e-05 × 6371000     		dl = 270.576369999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48240447-0.48236200) × R
    4.24699999999611e-05 × 6371000     		dr = 270.576369999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84896249--0.84891456) × cos(0.48240447) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.885882025606279 × 6371000     		do = 270.514733679811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84896249--0.84891456) × cos(0.48236200) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.885901727090152 × 6371000     		du = 270.52074976492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48240447)-sin(0.48236200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885882025606279-0.885901727090152)×R²
    abs(-0.84891456--0.84896249)×1.97014838728693e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97014838728693e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97014838728693e-05×40589641000000     		ar = 73195.7085868294m²