Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47822 / 55020
↖ ↑ ↗
← N 27.732161°
W 48.652954°		 ← 270.34 m → N 27.732161°
W 48.650207°		 →
↑
270.32 m
↓
↑
270.32 m
↓
N 27.729729°
W 48.652954°		 ← 270.35 m →
73 080 m²		 N 27.729729°
W 48.650207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364856719970703 y=0.419773101806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364856719970703 × 217)
    floor (0.364856719970703 × 131072)
    floor (47822.5)     		tx = 47822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419773101806641 × 217)
    floor (0.419773101806641 × 131072)
    floor (55020.5)     		ty = 55020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47822 / 55020 ti = "17/47822/55020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47822/55020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47822 ÷ 217
    47822 ÷ 131072     		x = 0.364852905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55020 ÷ 217
    55020 ÷ 131072     		y = 0.419769287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364852905273438 × 2 - 1) × π
    -0.270294189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84915424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419769287109375 × 2 - 1) × π
    0.16046142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.504104436404511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84915424} λ = -0.84915424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504104436404511))-π/2
    2×atan(1.65550224883165)-π/2
    2×1.02740691992827-π/2
    2.05481383985654-1.57079632675     		φ = 0.48401751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84915424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.652954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48401751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.732161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47822 KachelY 55020 -0.84915424 0.48401751 -48.652954 27.732161
    Oben rechts KachelX + 1 47823 KachelY 55020 -0.84910630 0.48401751 -48.650207 27.732161
    Unten links KachelX 47822 KachelY + 1 55021 -0.84915424 0.48397508 -48.652954 27.729729
    Unten rechts KachelX + 1 47823 KachelY + 1 55021 -0.84910630 0.48397508 -48.650207 27.729729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48401751-0.48397508) × R
    4.24299999999822e-05 × 6371000     		dl = 270.321529999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48401751-0.48397508) × R
    4.24299999999822e-05 × 6371000     		dr = 270.321529999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84915424--0.84910630) × cos(0.48401751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88513256710351 × 6371000     		do = 270.342269305512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84915424--0.84910630) × cos(0.48397508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88515231063841 × 6371000     		du = 270.348299489269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48401751)-sin(0.48397508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88513256710351-0.88515231063841)×R²
    abs(-0.84910630--0.84915424)×1.97435349004182e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97435349004182e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97435349004182e-05×40589641000000     		ar = 73080.1509174393m²