Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47819 / 55092
↖ ↑ ↗
← N 27.556982°
W 48.661194°		 ← 270.78 m → N 27.556982°
W 48.658447°		 →
↑
270.77 m
↓
↑
270.77 m
↓
N 27.554547°
W 48.661194°		 ← 270.78 m →
73 318 m²		 N 27.554547°
W 48.658447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364833831787109 y=0.420322418212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364833831787109 × 217)
    floor (0.364833831787109 × 131072)
    floor (47819.5)     		tx = 47819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420322418212891 × 217)
    floor (0.420322418212891 × 131072)
    floor (55092.5)     		ty = 55092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47819 / 55092 ti = "17/47819/55092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47819/55092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47819 ÷ 217
    47819 ÷ 131072     		x = 0.364830017089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55092 ÷ 217
    55092 ÷ 131072     		y = 0.420318603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364830017089844 × 2 - 1) × π
    -0.270339965820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.84929805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420318603515625 × 2 - 1) × π
    0.15936279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.500652979631867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84929805} λ = -0.84929805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500652979631867))-π/2
    2×atan(1.6497982036779)-π/2
    2×1.02587819660233-π/2
    2.05175639320466-1.57079632675     		φ = 0.48096007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84929805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.661194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48096007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.556982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47819 KachelY 55092 -0.84929805 0.48096007 -48.661194 27.556982
    Oben rechts KachelX + 1 47820 KachelY 55092 -0.84925011 0.48096007 -48.658447 27.556982
    Unten links KachelX 47819 KachelY + 1 55093 -0.84929805 0.48091757 -48.661194 27.554547
    Unten rechts KachelX + 1 47820 KachelY + 1 55093 -0.84925011 0.48091757 -48.658447 27.554547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48096007-0.48091757) × R
    4.25000000000009e-05 × 6371000     		dl = 270.767500000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48096007-0.48091757) × R
    4.25000000000009e-05 × 6371000     		dr = 270.767500000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84929805--0.84925011) × cos(0.48096007) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.886551173727492 × 6371000     		do = 270.775548284037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84929805--0.84925011) × cos(0.48091757) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.886570834724761 × 6371000     		du = 270.781553258677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48096007)-sin(0.48091757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886551173727492-0.886570834724761)×R²
    abs(-0.84925011--0.84929805)×1.96609972693551e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.96609972693551e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.96609972693551e-05×40589641000000     		ar = 73318.0312570467m²