Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47816 / 55023
↖ ↑ ↗
← N 27.724867°
W 48.669434°		 ← 270.36 m → N 27.724867°
W 48.666687°		 →
↑
270.39 m
↓
↑
270.39 m
↓
N 27.722436°
W 48.669434°		 ← 270.37 m →
73 102 m²		 N 27.722436°
W 48.666687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364810943603516 y=0.419795989990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364810943603516 × 217)
    floor (0.364810943603516 × 131072)
    floor (47816.5)     		tx = 47816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419795989990234 × 217)
    floor (0.419795989990234 × 131072)
    floor (55023.5)     		ty = 55023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47816 / 55023 ti = "17/47816/55023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47816/55023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47816 ÷ 217
    47816 ÷ 131072     		x = 0.36480712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55023 ÷ 217
    55023 ÷ 131072     		y = 0.419792175292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.2703857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84944186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419792175292969 × 2 - 1) × π
    0.160415649414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.50396062570565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84944186} λ = -0.84944186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50396062570565))-π/2
    2×atan(1.65526418701461)-π/2
    2×1.02734327203236-π/2
    2.05468654406471-1.57079632675     		φ = 0.48389022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84944186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.669434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48389022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.724867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47816 KachelY 55023 -0.84944186 0.48389022 -48.669434 27.724867
    Oben rechts KachelX + 1 47817 KachelY 55023 -0.84939392 0.48389022 -48.666687 27.724867
    Unten links KachelX 47816 KachelY + 1 55024 -0.84944186 0.48384778 -48.669434 27.722436
    Unten rechts KachelX + 1 47817 KachelY + 1 55024 -0.84939392 0.48384778 -48.666687 27.722436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48389022-0.48384778) × R
    4.24399999999769e-05 × 6371000     		dl = 270.385239999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48389022-0.48384778) × R
    4.24399999999769e-05 × 6371000     		dr = 270.385239999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84944186--0.84939392) × cos(0.48389022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885191792927543 × 6371000     		do = 270.360358396644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84944186--0.84939392) × cos(0.48384778) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885211536333592 × 6371000     		du = 270.366388541047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48389022)-sin(0.48384778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885191792927543-0.885211536333592)×R²
    abs(-0.84939392--0.84944186)×1.97434060488222e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97434060488222e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97434060488222e-05×40589641000000     		ar = 73102.2656335602m²