Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4781 / 3703
↖ ↑ ↗
← N 17.014767°
E 30.102539°		 ← 4 672.61 m → N 17.014767°
E 30.146484°		 →
↑
4 673.13 m
↓
↑
4 673.13 m
↓
N 16.972741°
E 30.102539°		 ← 4 673.66 m →
21 838 148 m²		 N 16.972741°
E 30.146484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58367919921875 y=0.45208740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58367919921875 × 213)
    floor (0.58367919921875 × 8192)
    floor (4781.5)     		tx = 4781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45208740234375 × 213)
    floor (0.45208740234375 × 8192)
    floor (3703.5)     		ty = 3703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4781 / 3703 ti = "13/4781/3703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4781/3703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4781 ÷ 213
    4781 ÷ 8192     		x = 0.5836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3703 ÷ 213
    3703 ÷ 8192     		y = 0.4520263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5836181640625 × 2 - 1) × π
    0.167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52538842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4520263671875 × 2 - 1) × π
    0.095947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.301427224810913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52538842} λ = 0.52538842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.301427224810913))-π/2
    2×atan(1.35178673502309)-π/2
    2×0.933880020828159-π/2
    1.86776004165632-1.57079632675     		φ = 0.29696371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52538842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.102539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29696371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.014767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4781 KachelY 3703 0.52538842 0.29696371 30.102539 17.014767
    Oben rechts KachelX + 1 4782 KachelY 3703 0.52615541 0.29696371 30.146484 17.014767
    Unten links KachelX 4781 KachelY + 1 3704 0.52538842 0.29623021 30.102539 16.972741
    Unten rechts KachelX + 1 4782 KachelY + 1 3704 0.52615541 0.29623021 30.146484 16.972741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29696371-0.29623021) × R
    0.000733499999999998 × 6371000     		dl = 4673.12849999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29696371-0.29623021) × R
    0.000733499999999998 × 6371000     		dr = 4673.12849999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52538842-0.52615541) × cos(0.29696371) × R
    0.000766990000000023 × 0.95622936914783 × 6371000     		do = 4672.60839604194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52538842-0.52615541) × cos(0.29623021) × R
    0.000766990000000023 × 0.956443747320158 × 6371000     		du = 4673.65595354255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29696371)-sin(0.29623021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95622936914783-0.956443747320158)×R²
    abs(0.52615541-0.52538842)×0.0002143781723285×R²
    0.000766990000000023×0.0002143781723285×6371000²
    0.000766990000000023×0.0002143781723285×40589641000000     		ar = 21838148.129406m²