Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4781 / 3701
↖ ↑ ↗
← N 17.098792°
E 30.102539°		 ← 4 670.51 m → N 17.098792°
E 30.146484°		 →
↑
4 671.03 m
↓
↑
4 671.03 m
↓
N 17.056785°
E 30.102539°		 ← 4 671.56 m →
21 818 516 m²		 N 17.056785°
E 30.146484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58367919921875 y=0.45184326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58367919921875 × 213)
    floor (0.58367919921875 × 8192)
    floor (4781.5)     		tx = 4781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45184326171875 × 213)
    floor (0.45184326171875 × 8192)
    floor (3701.5)     		ty = 3701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4781 / 3701 ti = "13/4781/3701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4781/3701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4781 ÷ 213
    4781 ÷ 8192     		x = 0.5836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3701 ÷ 213
    3701 ÷ 8192     		y = 0.4517822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5836181640625 × 2 - 1) × π
    0.167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52538842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4517822265625 × 2 - 1) × π
    0.096435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.302961205598755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52538842} λ = 0.52538842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.302961205598755))-π/2
    2×atan(1.35386194116011)-π/2
    2×0.934613274724281-π/2
    1.86922654944856-1.57079632675     		φ = 0.29843022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52538842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.102539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29843022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.098792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4781 KachelY 3701 0.52538842 0.29843022 30.102539 17.098792
    Oben rechts KachelX + 1 4782 KachelY 3701 0.52615541 0.29843022 30.146484 17.098792
    Unten links KachelX 4781 KachelY + 1 3702 0.52538842 0.29769705 30.102539 17.056785
    Unten rechts KachelX + 1 4782 KachelY + 1 3702 0.52615541 0.29769705 30.146484 17.056785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29843022-0.29769705) × R
    0.000733170000000005 × 6371000     		dl = 4671.02607000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29843022-0.29769705) × R
    0.000733170000000005 × 6371000     		dr = 4671.02607000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52538842-0.52615541) × cos(0.29843022) × R
    0.000766990000000023 × 0.95579921357083 × 6371000     		do = 4670.50644370128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52538842-0.52615541) × cos(0.29769705) × R
    0.000766990000000023 × 0.956014523433953 × 6371000     		du = 4671.5585539027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29843022)-sin(0.29769705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95579921357083-0.956014523433953)×R²
    abs(0.52615541-0.52538842)×0.000215309863123792×R²
    0.000766990000000023×0.000215309863123792×6371000²
    0.000766990000000023×0.000215309863123792×40589641000000     		ar = 21818515.5530787m²