Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47809 / 55097
↖ ↑ ↗
← N 27.544806°
W 48.688660°		 ← 270.81 m → N 27.544806°
W 48.685913°		 →
↑
270.77 m
↓
↑
270.77 m
↓
N 27.542371°
W 48.688660°		 ← 270.81 m →
73 326 m²		 N 27.542371°
W 48.685913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364757537841797 y=0.420360565185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364757537841797 × 217)
    floor (0.364757537841797 × 131072)
    floor (47809.5)     		tx = 47809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420360565185547 × 217)
    floor (0.420360565185547 × 131072)
    floor (55097.5)     		ty = 55097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47809 / 55097 ti = "17/47809/55097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47809/55097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47809 ÷ 217
    47809 ÷ 131072     		x = 0.364753723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55097 ÷ 217
    55097 ÷ 131072     		y = 0.420356750488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364753723144531 × 2 - 1) × π
    -0.270492553710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.84977742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420356750488281 × 2 - 1) × π
    0.159286499023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.500413295133766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84977742} λ = -0.84977742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500413295133766))-π/2
    2×atan(1.64940282000905)-π/2
    2×1.02577194442558-π/2
    2.05154388885116-1.57079632675     		φ = 0.48074756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84977742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.688660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48074756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.544806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47809 KachelY 55097 -0.84977742 0.48074756 -48.688660 27.544806
    Oben rechts KachelX + 1 47810 KachelY 55097 -0.84972948 0.48074756 -48.685913 27.544806
    Unten links KachelX 47809 KachelY + 1 55098 -0.84977742 0.48070506 -48.688660 27.542371
    Unten rechts KachelX + 1 47810 KachelY + 1 55098 -0.84972948 0.48070506 -48.685913 27.542371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48074756-0.48070506) × R
    4.25000000000009e-05 × 6371000     		dl = 270.767500000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48074756-0.48070506) × R
    4.25000000000009e-05 × 6371000     		dr = 270.767500000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84977742--0.84972948) × cos(0.48074756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886649467324219 × 6371000     		do = 270.805569677928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84977742--0.84972948) × cos(0.48070506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886669120313914 × 6371000     		du = 270.811572206849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48074756)-sin(0.48070506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886649467324219-0.886669120313914)×R²
    abs(-0.84972948--0.84977742)×1.96529896945297e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96529896945297e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96529896945297e-05×40589641000000     		ar = 73326.1597436411m²