Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47807 / 80851
↖ ↑ ↗
← S 38.726233°
W 48.694153°		 ← 238.23 m → S 38.726233°
W 48.691406°		 →
↑
238.21 m
↓
↑
238.21 m
↓
S 38.728376°
W 48.694153°		 ← 238.22 m →
56 747 m²		 S 38.728376°
W 48.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364742279052734 y=0.616847991943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364742279052734 × 217)
    floor (0.364742279052734 × 131072)
    floor (47807.5)     		tx = 47807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616847991943359 × 217)
    floor (0.616847991943359 × 131072)
    floor (80851.5)     		ty = 80851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47807 / 80851 ti = "17/47807/80851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47807/80851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47807 ÷ 217
    47807 ÷ 131072     		x = 0.364738464355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80851 ÷ 217
    80851 ÷ 131072     		y = 0.616844177246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364738464355469 × 2 - 1) × π
    -0.270523071289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.84987329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616844177246094 × 2 - 1) × π
    -0.233688354492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.73415361768116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84987329} λ = -0.84987329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.73415361768116))-π/2
    2×atan(0.479911475715615)-π/2
    2×0.447448025107179-π/2
    0.894896050214358-1.57079632675     		φ = -0.67590028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84987329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.694153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67590028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.726233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47807 KachelY 80851 -0.84987329 -0.67590028 -48.694153 -38.726233
    Oben rechts KachelX + 1 47808 KachelY 80851 -0.84982536 -0.67590028 -48.691406 -38.726233
    Unten links KachelX 47807 KachelY + 1 80852 -0.84987329 -0.67593767 -48.694153 -38.728376
    Unten rechts KachelX + 1 47808 KachelY + 1 80852 -0.84982536 -0.67593767 -48.691406 -38.728376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67590028--0.67593767) × R
    3.7390000000026e-05 × 6371000     		dl = 238.211690000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67590028--0.67593767) × R
    3.7390000000026e-05 × 6371000     		dr = 238.211690000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84987329--0.84982536) × cos(-0.67590028) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.780144052269077 × 6371000     		do = 238.226371493457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84987329--0.84982536) × cos(-0.67593767) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.780120660542813 × 6371000     		du = 238.21922854844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67590028)-sin(-0.67593767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780144052269077-0.780120660542813)×R²
    abs(-0.84982536--0.84987329)×2.33917262632e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33917262632e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33917262632e-05×40589641000000     		ar = 56747.4557960026m²