Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47806 / 55098
↖ ↑ ↗
← N 27.542371°
W 48.696899°		 ← 270.81 m → N 27.542371°
W 48.694153°		 →
↑
270.83 m
↓
↑
270.83 m
↓
N 27.539935°
W 48.696899°		 ← 270.82 m →
73 345 m²		 N 27.539935°
W 48.694153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364734649658203 y=0.420368194580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364734649658203 × 217)
    floor (0.364734649658203 × 131072)
    floor (47806.5)     		tx = 47806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420368194580078 × 217)
    floor (0.420368194580078 × 131072)
    floor (55098.5)     		ty = 55098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47806 / 55098 ti = "17/47806/55098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47806/55098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47806 ÷ 217
    47806 ÷ 131072     		x = 0.364730834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55098 ÷ 217
    55098 ÷ 131072     		y = 0.420364379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364730834960938 × 2 - 1) × π
    -0.270538330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84992123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420364379882812 × 2 - 1) × π
    0.159271240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.500365358234146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84992123} λ = -0.84992123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500365358234146))-π/2
    2×atan(1.64932375464672)-π/2
    2×1.0257506925768-π/2
    2.05150138515359-1.57079632675     		φ = 0.48070506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84992123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.696899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48070506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.542371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47806 KachelY 55098 -0.84992123 0.48070506 -48.696899 27.542371
    Oben rechts KachelX + 1 47807 KachelY 55098 -0.84987329 0.48070506 -48.694153 27.542371
    Unten links KachelX 47806 KachelY + 1 55099 -0.84992123 0.48066255 -48.696899 27.539935
    Unten rechts KachelX + 1 47807 KachelY + 1 55099 -0.84987329 0.48066255 -48.694153 27.539935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48070506-0.48066255) × R
    4.25099999999956e-05 × 6371000     		dl = 270.831209999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48070506-0.48066255) × R
    4.25099999999956e-05 × 6371000     		dr = 270.831209999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84992123--0.84987329) × cos(0.48070506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886669120313914 × 6371000     		do = 270.811572206849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84992123--0.84987329) × cos(0.48066255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88668877632573 × 6371000     		du = 270.817575658803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48070506)-sin(0.48066255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886669120313914-0.88668877632573)×R²
    abs(-0.84987329--0.84992123)×1.96560118160827e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96560118160827e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96560118160827e-05×40589641000000     		ar = 73345.0387548989m²