Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47805 / 55099
↖ ↑ ↗
← N 27.539935°
W 48.699646°		 ← 270.82 m → N 27.539935°
W 48.696899°		 →
↑
270.77 m
↓
↑
270.77 m
↓
N 27.537500°
W 48.699646°		 ← 270.82 m →
73 329 m²		 N 27.537500°
W 48.696899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364727020263672 y=0.420375823974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364727020263672 × 217)
    floor (0.364727020263672 × 131072)
    floor (47805.5)     		tx = 47805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420375823974609 × 217)
    floor (0.420375823974609 × 131072)
    floor (55099.5)     		ty = 55099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47805 / 55099 ti = "17/47805/55099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47805/55099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47805 ÷ 217
    47805 ÷ 131072     		x = 0.364723205566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55099 ÷ 217
    55099 ÷ 131072     		y = 0.420372009277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364723205566406 × 2 - 1) × π
    -0.270553588867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.84996917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420372009277344 × 2 - 1) × π
    0.159255981445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.500317421334526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84996917} λ = -0.84996917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500317421334526))-π/2
    2×atan(1.64924469307445)-π/2
    2×1.02572944025693-π/2
    2.05145888051387-1.57079632675     		φ = 0.48066255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84996917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.699646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48066255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.539935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47805 KachelY 55099 -0.84996917 0.48066255 -48.699646 27.539935
    Oben rechts KachelX + 1 47806 KachelY 55099 -0.84992123 0.48066255 -48.696899 27.539935
    Unten links KachelX 47805 KachelY + 1 55100 -0.84996917 0.48062005 -48.699646 27.537500
    Unten rechts KachelX + 1 47806 KachelY + 1 55100 -0.84992123 0.48062005 -48.696899 27.537500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48066255-0.48062005) × R
    4.25000000000009e-05 × 6371000     		dl = 270.767500000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48066255-0.48062005) × R
    4.25000000000009e-05 × 6371000     		dr = 270.767500000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84996917--0.84992123) × cos(0.48066255) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.88668877632573 × 6371000     		do = 270.81757565943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84996917--0.84992123) × cos(0.48062005) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.88670842611192 × 6371000     		du = 270.823577209918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48066255)-sin(0.48062005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88668877632573-0.88670842611192)×R²
    abs(-0.84992123--0.84996917)×1.9649786190068e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.9649786190068e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.9649786190068e-05×40589641000000     		ar = 73329.4104408326m²