Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47803 / 55101
↖ ↑ ↗
← N 27.535065°
W 48.705139°		 ← 270.83 m → N 27.535065°
W 48.702392°		 →
↑
270.83 m
↓
↑
270.83 m
↓
N 27.532629°
W 48.705139°		 ← 270.84 m →
73 350 m²		 N 27.532629°
W 48.702392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364711761474609 y=0.420391082763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364711761474609 × 217)
    floor (0.364711761474609 × 131072)
    floor (47803.5)     		tx = 47803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420391082763672 × 217)
    floor (0.420391082763672 × 131072)
    floor (55101.5)     		ty = 55101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47803 / 55101 ti = "17/47803/55101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47803/55101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47803 ÷ 217
    47803 ÷ 131072     		x = 0.364707946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55101 ÷ 217
    55101 ÷ 131072     		y = 0.420387268066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364707946777344 × 2 - 1) × π
    -0.270584106445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.85006504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420387268066406 × 2 - 1) × π
    0.159225463867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.500221547535286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85006504} λ = -0.85006504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500221547535286))-π/2
    2×atan(1.64908658129936)-π/2
    2×1.02568693420409-π/2
    2.05137386840817-1.57079632675     		φ = 0.48057754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85006504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.705139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48057754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.535065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47803 KachelY 55101 -0.85006504 0.48057754 -48.705139 27.535065
    Oben rechts KachelX + 1 47804 KachelY 55101 -0.85001710 0.48057754 -48.702392 27.535065
    Unten links KachelX 47803 KachelY + 1 55102 -0.85006504 0.48053503 -48.705139 27.532629
    Unten rechts KachelX + 1 47804 KachelY + 1 55102 -0.85001710 0.48053503 -48.702392 27.532629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48057754-0.48053503) × R
    4.25100000000511e-05 × 6371000     		dl = 270.831210000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48057754-0.48053503) × R
    4.25100000000511e-05 × 6371000     		dr = 270.831210000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85006504--0.85001710) × cos(0.48057754) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.886728078919407 × 6371000     		do = 270.829579683188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85006504--0.85001710) × cos(0.48053503) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.886747730124487 × 6371000     		du = 270.835581667041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48057754)-sin(0.48053503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886728078919407-0.886747730124487)×R²
    abs(-0.85001710--0.85006504)×1.96512050804065e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.96512050804065e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.96512050804065e-05×40589641000000     		ar = 73349.9155428424m²