Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47800 / 80841
↖ ↑ ↗
← S 38.704803°
W 48.713379°		 ← 238.35 m → S 38.704803°
W 48.710632°		 →
↑
238.34 m
↓
↑
238.34 m
↓
S 38.706946°
W 48.713379°		 ← 238.34 m →
56 807 m²		 S 38.706946°
W 48.710632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364688873291016 y=0.616771697998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364688873291016 × 217)
    floor (0.364688873291016 × 131072)
    floor (47800.5)     		tx = 47800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616771697998047 × 217)
    floor (0.616771697998047 × 131072)
    floor (80841.5)     		ty = 80841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47800 / 80841 ti = "17/47800/80841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47800/80841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47800 ÷ 217
    47800 ÷ 131072     		x = 0.36468505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80841 ÷ 217
    80841 ÷ 131072     		y = 0.616767883300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.2706298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85020885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616767883300781 × 2 - 1) × π
    -0.233535766601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.733674248684959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85020885} λ = -0.85020885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.733674248684959))-π/2
    2×atan(0.480141585547347)-π/2
    2×0.447635041580029-π/2
    0.895270083160058-1.57079632675     		φ = -0.67552624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85020885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.713379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67552624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.704803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47800 KachelY 80841 -0.85020885 -0.67552624 -48.713379 -38.704803
    Oben rechts KachelX + 1 47801 KachelY 80841 -0.85016091 -0.67552624 -48.710632 -38.704803
    Unten links KachelX 47800 KachelY + 1 80842 -0.85020885 -0.67556365 -48.713379 -38.706946
    Unten rechts KachelX + 1 47801 KachelY + 1 80842 -0.85016091 -0.67556365 -48.710632 -38.706946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67552624--0.67556365) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dl = 238.339110000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67552624--0.67556365) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dr = 238.339110000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85020885--0.85016091) × cos(-0.67552624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.780377997083655 × 6371000     		do = 238.347527238837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85020885--0.85016091) × cos(-0.67556365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.780354603762711 × 6371000     		du = 238.340382316477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67552624)-sin(-0.67556365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780377997083655-0.780354603762711)×R²
    abs(-0.85016091--0.85020885)×2.33933209438097e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33933209438097e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33933209438097e-05×40589641000000     		ar = 56806.6860621735m²