Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47800 / 55107
↖ ↑ ↗
← N 27.520451°
W 48.713379°		 ← 270.87 m → N 27.520451°
W 48.710632°		 →
↑
270.83 m
↓
↑
270.83 m
↓
N 27.518015°
W 48.713379°		 ← 270.87 m →
73 360 m²		 N 27.518015°
W 48.710632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364688873291016 y=0.420436859130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364688873291016 × 217)
    floor (0.364688873291016 × 131072)
    floor (47800.5)     		tx = 47800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420436859130859 × 217)
    floor (0.420436859130859 × 131072)
    floor (55107.5)     		ty = 55107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47800 / 55107 ti = "17/47800/55107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47800/55107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47800 ÷ 217
    47800 ÷ 131072     		x = 0.36468505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55107 ÷ 217
    55107 ÷ 131072     		y = 0.420433044433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.2706298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85020885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420433044433594 × 2 - 1) × π
    0.159133911132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.499933926137566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85020885} λ = -0.85020885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499933926137566))-π/2
    2×atan(1.64861233691657)-π/2
    2×1.02555940474257-π/2
    2.05111880948513-1.57079632675     		φ = 0.48032248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85020885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.713379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48032248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.520451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47800 KachelY 55107 -0.85020885 0.48032248 -48.713379 27.520451
    Oben rechts KachelX + 1 47801 KachelY 55107 -0.85016091 0.48032248 -48.710632 27.520451
    Unten links KachelX 47800 KachelY + 1 55108 -0.85020885 0.48027997 -48.713379 27.518015
    Unten rechts KachelX + 1 47801 KachelY + 1 55108 -0.85016091 0.48027997 -48.710632 27.518015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48032248-0.48027997) × R
    4.25099999999956e-05 × 6371000     		dl = 270.831209999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48032248-0.48027997) × R
    4.25099999999956e-05 × 6371000     		dr = 270.831209999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85020885--0.85016091) × cos(0.48032248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88684596211255 × 6371000     		do = 270.86558424406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85020885--0.85016091) × cos(0.48027997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886865603702446 × 6371000     		du = 270.871583291189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48032248)-sin(0.48027997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88684596211255-0.886865603702446)×R²
    abs(-0.85016091--0.85020885)×1.96415898963131e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96415898963131e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96415898963131e-05×40589641000000     		ar = 73359.6663038281m²