Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4780 / 3697
↖ ↑ ↗
← N 17.266728°
E 30.058594°		 ← 4 666.28 m → N 17.266728°
E 30.102539°		 →
↑
4 666.82 m
↓
↑
4 666.82 m
↓
N 17.224758°
E 30.058594°		 ← 4 667.34 m →
21 779 150 m²		 N 17.224758°
E 30.102539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58355712890625 y=0.45135498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58355712890625 × 213)
    floor (0.58355712890625 × 8192)
    floor (4780.5)     		tx = 4780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45135498046875 × 213)
    floor (0.45135498046875 × 8192)
    floor (3697.5)     		ty = 3697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4780 / 3697 ti = "13/4780/3697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4780/3697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4780 ÷ 213
    4780 ÷ 8192     		x = 0.58349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3697 ÷ 213
    3697 ÷ 8192     		y = 0.4512939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58349609375 × 2 - 1) × π
    0.1669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52462143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4512939453125 × 2 - 1) × π
    0.097412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.306029167174438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52462143} λ = 0.52462143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306029167174438))-π/2
    2×atan(1.35802191563235)-π/2
    2×0.936078789176346-π/2
    1.87215757835269-1.57079632675     		φ = 0.30136125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52462143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.058594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30136125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.266728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4780 KachelY 3697 0.52462143 0.30136125 30.058594 17.266728
    Oben rechts KachelX + 1 4781 KachelY 3697 0.52538842 0.30136125 30.102539 17.266728
    Unten links KachelX 4780 KachelY + 1 3698 0.52462143 0.30062874 30.058594 17.224758
    Unten rechts KachelX + 1 4781 KachelY + 1 3698 0.52538842 0.30062874 30.102539 17.224758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30136125-0.30062874) × R
    0.00073251000000002 × 6371000     		dl = 4666.82121000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30136125-0.30062874) × R
    0.00073251000000002 × 6371000     		dr = 4666.82121000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52462143-0.52538842) × cos(0.30136125) × R
    0.000766989999999912 × 0.954933327248658 × 6371000     		do = 4666.27529599741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52462143-0.52538842) × cos(0.30062874) × R
    0.000766989999999912 × 0.955150494934179 × 6371000     		du = 4667.33648443551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30136125)-sin(0.30062874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954933327248658-0.955150494934179)×R²
    abs(0.52538842-0.52462143)×0.00021716768552138×R²
    0.000766989999999912×0.00021716768552138×6371000²
    0.000766989999999912×0.00021716768552138×40589641000000     		ar = 21779149.6852544m²